RAPPORTS

Rapports et Proportions.

Rapports.

140. Définitions. — On appelle rapport de deux nombres entiers ou fractionnaires le quotient exact de la division du premier par le second.

On représente le rapport de deux nombres en écrivant le second nombre au-dessous du premier et en séparant les deux nombres par un trait horizontal. Par analogie avec les fractions ordinaires, on appelle le premier nombre le numérateur du rapport, et le second nombre le dénominateur : le numérateur et le dénominateur sont appelés les deux termes du

rapport.

Ainsi, le rapport de 3 à 5 est la fraction ordinaire — ; le

rapport de --■ à -— est le quotient -—:—- = - — -, et on le 3

représente par — — , qu'on énonce 3 cinquièmes sur 4 sept-

tièmes : -^ est le numérateur du rapport et — en est le dénominateur.

Dans tout ce qui suit, et aân de simplifier l'écriture et le langage, nous désignerons le numérateur par une lettre, a, le dénominateur par une lettre, 6, et le quotient exact par une lettre, q ; de sorte qu'on aura, par définition^ a = bxq;

ce qui équivaut h — := q.

141. Théorème. — Quand on multiplie les deux termes d'un rapport par un nombre ^ on obtient un rapport égal au premier.

Soit c le nombre par lequel on multiplie les deux termes

. t ^ 1 1 * j axe a

du rapport — ; il s agit de prouver que = —

b "* '^ bxc b

£n effet, si q est le quotient exact de la division de a par &,

on a a = 6 X g,

et, en multipliant tout par c, on en déduit

axe = hxcxq.

Ceci montre que q est aussi le quotient exact de la division de axe par bxc et, par conséquent, que

axe a

bxe ~ y

142. Remarque I. — On prouverait de même qu'on obtient un rapport égal à un rapport donné, quand on divise les deux termes du premier rapport par un même nombre.

143. Remarque H. — De ces deux propositions on déduit une règle de réduction de plusieurs rapports au même dénominateur identique à la règle de réduction de plusieurs fractions au même dénominateur (100), et le moyen de simplifier, dans certains cas, les deux termes d'un rapport (95) .

144. Somme de plusieurs rapports. — Lorsque plusieurs rapports ont le même dénominateur^ on obtient leur somme en faisant la somme des numérateurs, et en prenant comme dénominateur le dénominateur commun.

a a' a' Soient, en effet, plusieurs rapports, -r-> -t~» -r-» représentant les quotients respectifs q, q\ q". On a

a=:bxqy a'=^bxq\ a" = bxq\

et, en faisant la somme,

a 4- a' H- a" = 6 X (g -H q' -h g"), car bx{q-hq'-hq") = bxq-hbxq' -hbxq" (27). Mais i;égalité a -f- a' -h a" = bx{q-hq' -h q") signifie que q-h q' -h q" est le quotient exact de a -h a' -h a" par &, c'està-dire le rapport r Comme , d'autre part ,

q -i-q -hq est la somme "T ~*~ T" "^ "b"* ^^ ^ bien, conformément à la règle,

a a' a" a-ha' -i- a"

145. Remarque I. — Lorsque les rapports n'ont pas le même dénominateur, on commence par les réduire au même dénominateur et on applique^ ensuite, la règle précédente.

146. Remarque II. — On prouve de même que la différence de deux rapports s'obtient en les réduisant d'abord au