PROPORTIONS

Si l'on a a X d = 6 X c, on a aussi --- = --» car si

l'on divise les deux membres de la première égalité par

bxd et que Ton simplifie, on obtient la deuxième.

156. Remarque. — L'égalité axd r= 6 x c peut s'écrire sous les différentes formes

dxa = bxc, axd = cxby dxa = cxh y

auxquelles correspondent les proportions

Il en résulte que si Von a une proportion^ on obtient une

nouvelle proportion : 1*» en changeant les extrêmes; 2® en

changeant les moyens ; 3o en changeant à la fois les moyens

et les extrêmes

157. Théorème. — Quand on a une proportion, on obtient de nouvelles proportions : 1«* en ajoutant les dénominateurs aux numérateurs, ou en retranchant les dénominateurs des numérateurs, 2* en ajoutant les numérateurs aux dénominateurs ou en retranchant les numérateurs des dénominateurs.

a c 10 De -— := — 1 on déduit, en ajoutant Funité aux deux b d

membres, et en effectuant ces opérations,

'~b~ ~~ d ' on aurait de même, en retranchant l'unité des deux membres,

2" La proportion -- = --- conduit à la proportion — = — , ' b d ^^ c a

en changeant à la fois les moyens et les extrêmes. Mais alors, en vertu de 1", on a

c ~~ a ' ou, en changeant encore les moyens et les extrêmes, a __ c

bdb a'" d ^ c

1%. Corollaire. — Si l'on divise membre à membre les égalités

a-hb__c-^d a — b c^ d

on obtient une nouvelle égalité,

150. Quatrièmes proportionnelles. — Lorsque quatre nombres, écrits dans un ordre déterminé, forment une proportion, on dit que chacun d'eux est une quatrième proportionnelle aux trois autres.

Si trois des quatre nombres sont donnés, et si Ton donne en même temps Tordre dans lequel les nombres sont supposés écrits, il est aisé d'avoir l'autre nombre. Appelons, en effet, X ce nombre, a, b, c les trois autres, et supposons les

nombres écrits dans Tordre a, 6, a;, c ; on aura -r- = —

Multipliant alors les deux membres de cette égalité par c, et

simplifiant le dernier rapport, il vient

axe

160. Moyennes proportionnelles. — On dit qu'un nombre est la moyenne proportionnelle entre deux autres, quand il existe une proportion dont les moyens sont égaux ta ce nombre et les extrêmes aux deux autres.

D'après cela la moyenne proportionnelle, a?, entre deux nombres a et &, est définie par l'égalité a X X ~ b qui donne .t' = a X &, en égalant le produit des extrêmes au produit des moyens.

Il en résulte que la moyenne proportionnelle entre deux nombres est un autre nombre dont le carré est égal au produit des dev^x nombres considérés.

La moyenne proportionnelle, x, entre a et 6 est donc la racine carrée du produit axb. Pour cette raison, Tégalité .T^ = a X 6 s'écrit encore