NUMÉRATION DÉCIMALE
du plus petit mille successivement des noms des neuf cent quatre-vingt-dix-neuf premiers nombres.
De même entre deux millions consécutifs il y a neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf nombres, que Ton nomme en faisant suivre le nom du plus petit million successivement des noms des neuf cent quatrevingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf premiers nombres, et ainsi de suite.
5. Numération écvile. — La numération écrite apprend à écrire les nombres avec le moins de conventions possible.
Elle comprend deux problèmes : 1** Ecrire un nombre énoncé ; 2" Lire un nombre écrit.
1* Écrire un nombre énoncé. — On commence par représenter les neuf premiers nombres par des caractères ou chiffres ; ces chiffres sont :
Puis on adopte la convention suivante :
Dans tout nombre écrit les unités simples occupent le premier rang à droite, et tout chiffre placé à la gauche d'un autre représente des unités dix fois plus fortes, c'est-à-dire de l'ordre immédiatement supérieur.
En vertu de cette convention, et puisque les unités simples occupent le premier rang à droite, les dizaines occuperont le deuxième rang, les cenbiines le troisième, et ainsi de suite.
Si des unités d'un certain ordre manquent dans un nombre, on se sert, pour tenir la place de ces unités, d'un dixième caractère, 0, appelé zéro. On met ce caractère à la place de toute unité manquant dans un nombre de manière que tout chiffre représentant un certain ordre d'unités ait toujours la place qui lui est assignée en vertu de la convention précédente.
Ce dixième caractère n'a d'ailleurs aucune valeur par luimême, et on l'appelle, pour cette raison, un chiffre non êignificatiff tandis que les autres chiffres s'appellent des chiffres significatifs.
La règle à suivre pour écrire un nombre énoncé résulte de ce que l'on vient de dire et peut être énoncée comme il suit :
Pour écrire un nombre énoncé y on écrit successivement de gauche à droite les chiffres qui expriment les unités des divers ordres, en commençant par l'ordre le plus élevé et en
mettant des zéros à la place des ordres d'unités qui manquent.
Par exemple, dans le nombre cinq mille trois cent quatre, il y a cinq mille, trois centaines, quatre unités; il n'y a pas de dizaines. On écrira donc le chiffre 5 au premier rang à gauche, le chiffre 3 au deuxième rang, le chiffre au troisième rang, pour tenir la place des dizaines, et le chiffre 4 au quatrième rang. On obtient ainsi le nombre écrit 5.304.
2^ Lire un nombre écrit. — La règle à suivre est la suivante :
On partage le nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant n'avoir que deux chiffres et même un seul. On lit alors le nom de chaque tranche successivement, en commençant par la gauche, et en terminant par le nom de l'unité exprimée par le dernier chiffre de la tranche qu'on lit.
Par exemple, le nombre 53.472.624 se lira cinquante-trois millions^ quatre cent soixante-douze mille, six cent vingtquatre unités.
6. Remarque. — D'après la manière de lire un nombre écrit, on peut écrire autant de zéros que Ton veut à la gauche d'un nombre sans que ce nombre soit altéré. Mais il n'en est plus ainsi quand on écrit les zéros à la droite du nombre au lieu de les écrire à gauche.
Supposons, par exemple, que l'on écrive deux zéros à la droite d'un nombre ; on voit immédiatement que chaque chiffre représente, dans le nouveau nombre, des unités cent fois plus fortes que dans l'ancien. Chaque partie du nombre a donc été rendue cent fois plus forte, et, par suite, le nombre lui-même a été rendu cent fois plus fort.
7. Définitions. — On appelle valeur absolue d'un chiffre significatif le nombre compris entre un et neuf représenté par ce chiffre. Dans un nombre donné on appelle valeur relative d'un chiffre significatif la valeur qui lui est assignée par la convention fondamentale (5) et qui dépend du rang occupé par le chiffre dans ce nombre.
On dit qu'un nombre est plus grand ou plus petit qu'un autre quand il contient plus ou moins d'unités que cet autre. On indique qu'un nombre est plus grand qu'un autre au moyen du signe >, qu'on énonce plus grand que. On indique de môme qu'un nombre est plus petit qu'un autre au moyen
du signe <, qu'on énonce plus petit que. Ainsi 12 > 7 s'énonce 12 plus grand que 7; de même 7 < 12 s'énonce 7 plus petit que 12. 12 > 7 et 7 < 12 s'appellent des inégalités. On indique que deux nombres sont égaux en les séparant par le signe =, qu'on énonce égale. On obtient ainsi une égalité.
Dans une égalité ou dans une inégalité, le nombre qui est à gauche du signe d'égalité ou d'inégalité s'appelle le premier membre^ et le nombre qui est à droite s'appelle le second membre. Nous ferons usage quelquefois des deux signes ^, ^. Le premier s'énonce supérieur ou égal ; le second s'énonce inférieur ou égal.
On appelle preuve d'une opération une autre opération destinée à vérifier l'exactitude de la première.
Addition des nombres entiers.
8. Détïnitïons. — Additionner ou ajouter plusieurs nombres entiers donnés c'est trouver un autre nombre qui soit composé avec toutes les unités des nombres donnés. L'opération au moyen de laquelle on trouve ce nombre s'appelle Vaddition^ et le résultat de l'opération s'appelle la somme ou le total des nombres donnés.
Imaginons, par exemple, plusieurs tas de noix : chacun de ces tas correspond à un nombre entier. Réunissons-les en un seul, et nous obtenons un seul nombre entier, qu'on appelle la somme de tous les autres. En les réunissant en un seul, nous avons fait une addition.
9. Conséqueiices de la définition. — !<> 11 est clair que pour former le tas unique nous pouvons prendre successivement les tas partiels dans un ordre quelconque : le tas unique comprendra toujours le même nombre de noix. 2" 11 est clair aussi qu'avant de former le tas unique, nous pouvons partager chaque tas partiel en plusieurs autres, puis réunir tous ces nouveaux tas en un seul en les prenant successivement dans un ordre quelconque : le tas unique comprendra toujours le môme nombre de noix.
10. Signe de l'addition. — Pour indiquer qu'on ajoute deux ou plusieurs nombres on les écrit les uns à la suite des autres en les séparant par le signe -f-, qu'on énonce piMS. Par exemple, pour indiquer qu'on ajoute 5, 7, 9, 13, on écrit
On obtient ainsi une somme, dont les nombres 5, 7, 9 et 13 constituent ce qu'on appelle les termes.
D'ailleurs quand on écrit 5-+-7-i-9-hl3 on entend qu'il faut ajouter 7 à 5, puis 9 au résultat obtenu, puis 13 au nouA^eau résultat.
Mais de la première conséquence de la définition (9), il suit que l'on obtiendrait le même nombre si l'on faisait les opérations dans l'ordre indiqué par exemple par
c'est ce que l'on exprime en disant que dans une somme on peut altérer à volonté l'ordre des termes sans changer la somme.
D'après cela, il revient au môme d'écrire 7 -f 5 ou 5 4-7; il revient au même aussi d'écrire 5-+-7-I-9-+-13 ou 7-h 9-1- 5-f 13, etc. On peut donc poser les égalités 7-h5 = 5-h7, 5 4-74-9+13 = 7 -h 9-f- 5 -h 13, etc.
