Théorie de raddition des nombres entiers

Nous distinguerons deux cas :

Premier Cas. — Ajouter un nombre d'un seul chiffre à un nombre quelconque.

Soit par exemple à ajouter 8 à 54, c'est-à-dire à faire l'opération indiquée par 54 -h 8. En vertu de la deuxième conséquence de la définition (9), on peut supposer 8 décomposé en ses unités, et ajouter à 54 successivement toutes les unités de 8. Un peu d'habitude permet d'écrire immédiatement le résultat, 62.

Deuxième Cas. — Ajouter plusieurs nombres quelconques.

Soit par exemple à ajouter 3246, 428 et 356. En vertu de la deuxième conséquence de la définition (9), on peut supposer chacun de ces nombres décomposé en unités, dizaines, centaines, etc., puis ajouter entre elles les unités de même ordre, ce qui donne les unités, les dizaines, les centaines, etc. des résultats. Pour faciliter ces additions partielles, on écrit les nombres les uns au-dessous des autres de manière que les unités do même ordre soient placées sur la même ligne verticale, et on opère ainsi :

6 et 8 font 14 ; 14 et 6 font 20, c'est-à-dire unité et 2 dizaines. On écrit alors le chiffre des unités dans la colonne des unités, et l'on retient 2 que l'on ajoute aux dizaines en

disant : 4 et 2 de retenue font 6; 6 et 2 font 8; 8 et 5 font 13 dizaines, c'est-à-dire 3 dizaines et 1 centaine. On écrit alors le chiffre 3 dans la colonne des dizaines, et l'on retient 1 que Ton ajoute aux centaines en disant : 2 et 1 font 3 ; 3 et 4 font 7 ; 7 et 3 font 10, c'est-à-dire centaine et 1 mille. On écrit donc dans la colonne des centaines et l'on retient 1 que l'on ajoute aux mille en disant : 3 et 1 font 4.

La somme des trois nombres donnés est donc 4030.

On déduit de là la règle pratique suivante :

Règle. — On écrit les nombres à ajouter les uns au-dessous des autres de manière que les unités de même ordre se correspondent, les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, etc. On ajoute les nombres placés sur la même colonne en commençant par la droite, c*est-à-dire par la colonne des unités. Si la somme ainsi obtenue est inférieure à 9 on l'écrit telle qiCon la trouve ; si elle est supérieure à 9, on écrit le chiffre des unités de cette somme dans la colonne correspondante, et on retient les dizaines pour les ajouter à la colonne suivante. La somme provenant de la dernière colonne s'écrit telle qu'on la trouve.

On dispose l'opération comme ci-dessous :

Soustraction des nombres entiers.

12. Définitions. — Étant donnés deux nombres entiers différents, la soustraction a pour objet de trouver un troisième nombre qui, ajouté au plus petit, reproduise le plus grand. On dit alors qu'on retranche le plus petit nombre du plus grand. Le résultat de l'opération s'appelle reste, excès ou différence.

Considérons par exemple 22 et 7. En ajoutant 1 à 7, puis 1 au résultat obtenu, et ainsi de suite, on forme successivement tous les nombres plus grands que 7 ; donc quand on aura ajouté un certain nombre d'unités on trouvera 22. Une unité de plus donnera 23, une autre unité de plus donnera 24, et ainsi de suite. // suit de là qu'il y a un nombre et un seul

qui, ajouté à 7, donne 22, et ceci est vrai, bien entendUjpour n'importe quel exemple.

13. Signe de la soustraction. — Dans Texemple actuel, le nombre qui, ajouté à 7, donne 22, est 15 ; de sorte que 15 est la différence entre 7 et 22. On indique cela en écrivant régalité

22 - 7 = 15, que Ton Énonce 22 moins 7 égale 15, et cela signifie, d'après U dtdiinilion, que

22 = 7-hl5.

Sans L'crire le résultat, pour indiquer que Ton retranche un rtomhi 1^ d'un autre plus grand que lui, on écrit le plus petit uorabrt^ à droite du plus grand, en les séparant par le signe — , que Ton énonce moins,

14, Conséquences. — 1° Par définition, si 15 est la dilféronoi? <i litre 7 et 22, on a

|] f'.^l cliiir que si à deux nombres égaux on ajoute un rnémp nombre, on obtient des nombres égaux. Ajoutons par exemple 6 à 22 et à 7-1-15, nous aurons

Aîîiîs d'nprès ce qu'on a vu dans Taddition,