EMPLOI DES LETTRES

Solution avec une lettre. — Reprenons maintenant le même problème en désignant par une lettre, x^ le temps inconnu exprimé en années. La fortune de chaque personne s'accroissant de 4000'»' par an, au bout de x années elle s'accroît de 4000 X. Mais au bout de ce temps la fortune de la première devant être le triple de celle de la deuxième, on doit avoir

423000 -h 4000a? = 3 (125000 + 4000a?) ; ce qui peut s'écrire

423000 4- 400007 = 375000 -h 12000aJ.

En retranchant 375000 et 4000a? de part et d'autre, il vient 48000 = 8000a?, ce qui montre que x est le quotient, 6, de la division de 48000 par 8000, ou de 48 par 8.

6. Problème III. — Trouver deux nombres connaissant leur somme, 32, et leur quotient exact, 7 .

Solution sans lettres. — Le quotient étant 7, cela veut dire que le plus grand nombre est égal à 7 fois le plus petit. Mais alors la somme, 32, du plus grand et du plus petit sera égeale à 7 fois le plus petit plus le plus petit, c'est-à-dire à 8 fois le plus petit. Il en résulte que le plus petit nombre cherché est 32 : 8 = 4 et, par suite, que le plus grand est 4x7 = 28.

Solution avec des lettres. — Appelons a? le plus petit

nombre et y le plus grand. On doit avoir

y = lx

et y-hx = 32.

Cette dernière égalité, si Ton tient compte de la première,

s'écrit

et donne a? = — = 4 ; il en résulte y = 7 x 4 = 28.

Emploi des lettres pour représenter

les données.

Formules algébriques.

7. Emploi des lettres pour représenter les données. — Les problèmes qu'on vient de résoudre mettent bien

en évidence les avantages qui résultent de l'emploi des lettres pour représenter les inconnues d'un problème. Il est donc naturel de généraliser ce mode de représentation et de l'étendre aux données elles-mêmes. Il ressortira très nettement de considérations ultérieures que Ton obtient, de cette manière, des résultats plus généraux, et que Ton peut, en quelque sorte, condenser les divers ca»3 d'une même question. Mais nous pouvons, dès à présent, et en traitant quelques exemples, donner une idée des avantages que Ton peut tirer de l'emploi des lettres pour représenter les données et les inconnues.

Reprenons d'abord le problème I du n® 4, et représentons par a le premier nombre, par h le second, et par x le nombre inconnu. D'après l'énoncé, si l'on ajoute x à chacun des nombres, le double du premier résultat doit être égal au second. On doit donc avoir

2[a-^x) =:h-hx; ce qui peut encore s'écrire, en eflfectuant la multiplication indiquée au premier membre,

2a -f- 2a7 = b-hx.

Retranchant alors successivement x et 2a des deux membres, on obtient finalement

En rapprochant cette solution et le résultat qui en est la conséquence de l'une quelconque des solutions et des résultats obtenus au n" 4, nous observohs d'abord que la nouvelle solution est plus simple soit sous le rapport du langage, soit sous le rapport de l'écriture. Mais nous observons ensuite et surtout que, tandis que les deux solutions du n" 4 nous ont donné comme résultat final un nombre, 31, ne laissant aucune trace des opérations qu'on a dû faire pour l'obtenir, la solution actuelle nous donne un résultat général, indiquant dans une seule égalité tous les calculs à effectuer pour résoudre tous les problèmes du même genre dans lesquels les nombres seuls dijQfèrent. L'égalité a? = 6 — 2a, lue en langage ordinaire, nous indique en effet que le nombre inconnu est égal à la différence entre le second nombre et le double du premier ; de sorte que nous avons, en réalité, résolu tous les problèmes compris dans l'énoncé suivant :

Etant donnés deux nombres quelconques, quel nombre fautil ajouter à chacun d'eux pour que le double du plus petit résultat soit égal à l'autre résultat f