Formules algébriques. — Les égalités obtenues plus haut

qui permettent de calculer le nombre x quand on connaît les nombres que représentent les lettres a, 6, Cj s'appellent des formules algébriques.

Ainsi, une formule algébrique est une égalité entre des nombres et des lettres représentant des nombres connus ou inconnus, et qui renferme Tindication des calculs à eflfectuer pour avoir Tun des nombres quand on connaît tous les autres.

La résolution d'un problème d'algèbre conduit toujours à une ou à plusieurs formules. Nous en avons vu des exemples dans le numéro précédent ; les questions dont nous allons nous occuper dans le numéro suivant et qu'on appelle des questions d'intérêt nous en fournissent d'autres exemples.

9. Formules d'intérêts simples. — Quand une personne possédant un capital en cède la jouissance temporaire à une autre personne, on appelle intérêt du capital une indemnité conventionnelle versée par la deuxième personne à la première. On dit alors que le capital est placé à intérêt et on appelle durée du placement le temps pendant lequel le propriétaire renonce à la jouissance de son capital moyennant les intérêts.

Par convention, l'intérêt est directement proportionnel au capital, et on appelle taux de l'intérêt, l'intérêt d'une somme déterminée, généralement d'une somme de 100^' pendant un an.

Toutes les questions d'intérêt se résolvent au moyen d'une formule unique que nous allons faire connaître.

Représentons, pour cela, par des lettres le capital placé, l'intérêt de ce capital, le taux et le temps, et soient :

a la lettre qui représente le capital ;

1 la lettre qui représente l'intérêt pendant la durée du placement ;

r la lettre qui représente le taux pour 100^' ;

t le temps exprimé en années.

L'intérêt de 100^' au bout d'un an étant r, celui de

FORMULES ALGEBRIQUES 9

r va

V' sera -rrr» et celui de a francs sera y- r : ceci résulte

100 Iw

de ce que Tintérèt est directement proportionnel au capital (Arithm., 165). Puisque l'intérêt de a francs au bout d'un an

est --» l'intérêt de la même somme au bout de t années

sera -— » car Tintérèt est aussi directement proportionnel

au temps.

On a donc, entre les nombres représentés par les lettres

a, I, r, t, l'égalité

C'est cette égalité qui constitue ce qu'on appelle la formu e des intérêts simples. On peut lui donner trois autres formes.

1" En multipliant les deux membres par 100 et les divisant ensuite par le produit rty on obtient

2» En multipliant toujours les deux membres par 100 et les divisant ensuite par at, on obtient

3o Enfin, en multipliant encore les deux membres par 100 et les divisant ensuite par ar^ on obtient

ar

Cela fait en somme quatre formules qui permettent de résoudre tous les problèmes compris dans l'énoncé suivant :

Connaissant trois quelconques des quatre nombres l, a, r, ^ trouver le quatrième.

Si l'inconnue est l'intérêt, on l'obtiendra par la formule (1) ; si rinconnue est le capital, on l'obtiendra par la formule (2) ; si l'inconnue est le taux, on l'obtiendra par la formule (3) ; enfin, si Tinconnue est le temps, on l'obtiendra par la formule (4).

Par exemple, supposons que l'on demande à quel taux il faut placer, pendant 3 ans, un capital de lOOOOfr pour obtenir dW^ d'intérêts.

L'inconnue étant le taux, il faudra se servir de la formule (3). Il suffira d'ailleurs, pour obtenir le taux, de remplacer, dans celte formule, 1 par 975, a par 10 000, t par 3, et d'effectuer les opérations indiquées. On obtient ainsi

Le taux cherché est donc 3^',2S pour 100 franfcs.

Nombres positifs et nombres négatifs.

10. Emploi des nombres positifs ou négatifs pour la représentation des grandeurs susceptibles d'être portées dans un sens ou dans le sens opposé. —

Supposons que Ton demande de porter plusieurs longueurs données sur une droite indéfinie x'x et à partir d'un point

fixe, 0, de cette droite,

, Chacune de ces longueurs

■^ o- ^ sera déterminée par le

nombre qui la mesure à Taide d'une longueur choisie une fois pour toutes et prise pour unité. Mais si on \eut en placer une quelconque sur la droite x'x^ à partir du point 0, on reconnaît, au simple examen, que celte opération n'est pas déterminée ; car il n'y a aucune raison de porter cette longueur à droite du point 0, plutôt qu'à gauche. Pour que l'opération soit bien déterminée, il faut donc que l'on indique le sens dans lequel elle doit être portée ; et il faut, bien entendu, qu'il en soit ainsi pour toutes les longueurs que l'on doit porter à partir du point 0, sur la droite x'x.

11 serait fastidieux, en algèbre, de dire par exemple : une longueur de 4 mètres portée à droite du point 0, une longueur de 3 mètres portée à gauche, etc. : cela serait contraire à l'un des buts de l'algèbre, à la simplification de l'écriture et du langage. D'ailleurs, toute opération a été indiquée jusqu'ici par un signe. On a été ainsi conduit à convenir de faire précéder du signe -h le nombre qui mesure une longueur portée dans un sens déterminé, à droite du point par exemple, et du signe — le nombre qui mesure une longueur portée dans le sens opposé. Alors, au lieu de dire des longueurs de 2, 3, 4 mètres por-