NOMBRES POSITIFS ET NOMBRES NÉGATIFS

tées à droite du point 0, on dira des longueurs -+-2, 4-3, -f- 4 (plus 2, plus 3, plus 4) ; au lieu de dire des longueurs 5, 6, 7, portées à gauche du point 0, on dira des longueurs — 5, — 6, — 7 (moins 5, moins 6, moins 7).

Généralisant alors cette convention, afin de se conformer à Fesprit de l'algèbre, on a été conduit à retendre à toutes les grandeurs susceptibles d'être comptées dans un sens ou dans le sens opposé : telles sont les temps, les vitesses, les degrés thermométriques, etc.

Temps. — Un événement quelconque peut être postérieur ou antérieur à un instant donné que l'on regarde comme fixe et qu'on appelle Vorigine des temps. Supposons que Ton connaisse le nombre d'unités de temps écoulées entre l'origine des temps et l'instant où se produit l'événement considéré. Le temps écoulé est une grandeur susceptible d'être comptée dans deux sens opposés, dans l'avenir ou dans le passé. Convenons, pour fixer les idées, de faire précéder le nombre qui mesure le temps du signe 4- si l'événement est postérieur à l'instant origine, dyi signe — s'il est antérieur au même instant.

Dans ces conditions, il est clair qu'il y aura tout avantage à dire que l'événement s'est produit au temps H- 5 ou au temps — 3, plutôt que de dire : l'événement s'est produit 5 unités de temps après l'origine des temps, ou 3 unités de temps avant cette origine.

Vitesse. — Quand un point se meut sur une droite x'x^ à partir d'un point de cette droite, il peut se mouvoir soit

de gauche à droite, soit de

^, — droite à gauche. L'espace qu'il

^ parcourt est donc une gran-

deur susceptible d'être portée dans deux sens opposés. Supposons que le point décrive toujours des longueurs égales pendant des temps égaux ; on appelle alors vitesse du point en mouvement l'espace parcouru pendant l'unité de temps, comptée à partir de n'importe quel instant. Cette vitesse étant un espace parcouru est une grandeur susceptible d'être portée dans deux sens opposés. Il y aura donc avantage à affecter le nombre qui la mesure du signe -f- quand le déplacement du point s'effectue dans un sens déterminé, et du signe — dans le cas contraire. Par exemple, si l'on convient de mettre le signe -h quand

i2 ALGÈBRE

le mouvement a lieu de gauche à droite, on saura que si la vitesse d'un point sur la droite x'x est de — 2 mètres par seconde, cela signifiera que le point se déplace de àroiit d gauche, et parcourt 2 mètres par seconde.

Degrés thermométriques. — On sait que la tige d'un thermomètre est divisée en parties égales appelées degrés, et que Ton évalue la température à un instant donné au moyen du nombre de degrés compris entre une division fixe, prise pour origine, et la division qui correspond au niveau du liquide à cet instant. Comme le niveau du liquide peut être au-dessus ou au-dessous de la division prise pour origine, les degrés constituent une grandeur susceptible d'être portée dans deux sens opposés. On a donc été conduit à faire, pour les degrés, la même convention que pour les longueurs, les temps et les vitesses. Ainsi l'on dit une température de -+- 15 degrés ou de — 3 degrés, au lieu de dire 15 degrés au-dessus de zéro, 3 degrés au-dessous.

En résumé, pour définir complètement une grandeur d'espèce quelconque, susceptible d'être portée dans un sens ou dans le sens opposé, on a été conduit à faire usage des nombres définis en arithmétique et précédés du signe -h ou du signe — . On a appelé ces nombres des nombres algébriques, par opposition aux nombres ordinaires qu'on appelle nombres arithmétiques.

Les nombres algébriques se divisent d'ailleurs en nombres positifs et en nombres négatifs.

On appelle nombre positif tout nombre arithmétique précédé du signe H-, et on appelle nombre négatif tout nombre arithmétique précédé du signe — .

Par exemple, (-h 5) {plus 5) est un nombre positif, { — 5) (moins 5) est un nombre négatif. Les parenthèses qui comprennent chacun de ces nombres ne sont pas indispensables et sont mises uniquement pour bien affirmer que le signe est inséparable du nombre arithmétique qu'il précède.

A tout nombre algébrique correspond un nombre arithmétique qu'on appelle la valeur absolue du nombre algébrique ; ainsi la valeur absolue de (—7) est 7 et celle de {-+- 5) est 5 . Un nombre algébrique est nul quand sa valeur absolue est 0. Deux nombres algébriques qui ont la même A^aleur absolue et des signes contraires sont dits égaux et, de signes contraires.

ADDITION i3

Après avoir donné les considérations qui ont conduit à l'introduction et à la définition des nombres algébriques, nous allons montrer qu'on peut effectuer sur ces nombres les mêmes opérations que sur les nombres arithmétiques.

Opérations sur les nombres positifs et sur les nombres négatifs.

Addition.

11. Soinme de deux nombres. — Par définition, la somme de deux nombres algébriques a et & est un troisième nombre c qui a pour valeur absolue la somme ou la différence des valeurs absolues, suivant que les deux nombres sont de même signe ou de signes contraires ; son signe est le même que celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue.

Si Tun des deux nombres a ou & est nul, c se réduit à celui qui n'est pas nul.

On représente la somme de deux nombres algébriques a et 6 par le symbole a ^- b, qu'on appelle une expression algébrique, et Ton exprime que c est la somme de a et de b en écrivant l'égalité

a-hh = c.

D'après cela, on a :

(-+-7)4-(-h5) = -+-(7 + 5), (-7)-H(-5) = -{7-f-5), (H7) + (-5) = -4-(7-5), • ;-7)-+-(^-5) = -(7-5), la signification des symboles (7 -^ 5) et (7 — 5) étant la même qu'en arithmétique, c'est-à-dire que ces symboles représentent la somme ou la différence, supposées effectuées, de 7 et de 5.

12. Remarque I. — La somme de deux nombres égaux et de signes contraires est évidemment nulle.