et, [l/rHitre part, 22 -f

On mir<\ donc 28 = 13-1-15,

ce qni indique que 15 est aussi la différence entre 28 et 13. C^, ré^ilUt s'énonce d'une manière générale comme il suit :

Ln différence entre deux nombres ne change pas quand nu ajoute le même nombre à tous les deux.

Comnit! Ton passe de 28 = 13 -h 15 cà 22 = 7 -h 15 en nil I anchant 6 de 28 et de 13, on peut dire aussi que la différmcr de deux nombres ne change pas quand on retranche k ftuhttt' nombre de chacun d'eux.

2" On peut considérer le nombre 7 comme composé de plu- FÎiMirs iurlies, 3 et 4, par exemple; de sorte qu'on aura

mftiR 3-1-4 -f- 15 = 4-1- 15 -h 3, et alors l'égalité (1) peut être rojisidérée comme indiquant que 4-1-15 ajouté à 3 donne i! 2, et par suite que 4 + 15 est la différence entre

22 et 3. Cette différence 22 — 3 est égale à 19, de sorte qiie

19 = 4 -h 15, ce qui indique que 15, différence entre 22 et 7, est aussi la différence entre 19 et 4. Or, nous venons d'obtenir 15 en retranchant d'abord 3 de 22, puis 4 du résultat obtenu 19. Ce résultat peut donc s'énoncer d'une manière générale comme il suit :

Pour retrancher un nombre d'un autre plus grand que lui, on peut retrancher du plus grand nombre su^ccessivement toutes les parties du plus petit.

15. Théorie de la soustraction. — Nous distinguerons deux cas :

Premier Cas. — Retrancher un nombre d*un seul chiffre d'un nombre quelconque.

Soit par exemple à retrancher 5 de 27. On retranche successivement de 27 toutes les unités de 5. Un peu d'habitude permet d'écrire immédiatement le résultat 22, en observant que 22-4-^= 27.

Deuxième Cas. — Retrancher un nombre quelconque d'un autre nombre quelconque plus grand que lui.

Soit à retrancher 472 de 3256, c'est-à-dire à effectuer l'opération 3256 — 472. Comme cela a été observé (14, 2"), on peut retrancher de 3256 successivement les unités, les dizaines et les centaines de 472. Pour faciliter ces opérations, écrivons le plus petit nombre au-dessous du plus grand de manière à placer les unités de même ordre sur la même ligne verticale. Puis retranchons 2 unités de 6 unités, ce qui donne 4 unités, que nous écrivons dans la colonne des unités. Si nous retranchons maintenant 7 dizaines de 5 dizaines, cela est impossible ; mais nous ne changerons pas le résultat de la soustraction en ajoutant 10 dizaines au plus grand nombre et 1 centaine, c'est-à-dire 10 dizaines au plus petit (14, 1°). On a alors à retrancher 7 dizaines de 15 dizaines, ce qui donne 8 dizaines, que nous écrivons dans la colonne des dizaines. Comme l'on a ajouté une centaine au plus petit nombre, nous retrancherons maintenant non pas 4 centaines, mais 5 centaines des centaines du plus grand nombre. Or, il n'y a que 2 centaines dans le plus grand nombre, et, pour rendre la soustraction possible, nous ajouterons 10 centaines au plus grand nombre et 1 mille, c'est-à-dire 10 centaines au plus petit. Nous aurons donc à retrancher 5 centaines ^de 12

centaines, ce qui donnera 7 centaines que nous écrirons dans la colonne des centaines. Nous n'avions pas de mille dans le plus petit nombre, mais comme nous en avons ajouté 1 pour rendre possible la soustraction des centaines, il reste à retrancher 1 mille de 3 mille, ce qui donne 2 mille, que nous écrirons dans la colonne des mille. La différence cherchée est ainsi 2784.

D'après cela on a adopté la règle suivante :

Règle. — On écrit le plus petit nombre au-dessous du plus grand de manière que les unités de même ordre se correspondent, les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaineSy etc. On retranche chaque chiffre inférieur du chiffre supérieur correspondant en commençant par la droite. Si le chiffre inférieur est plus petit que le chiffre supérieur correspondant, on écrit sur la même colonne le résultat de leur soustraction. Dans le cas contraire, on retranche le chiffre inférieur du chiffre supérieur augmenté de 10, on écrit sur la même colonne le résultat de la soustraction, et on retient 1 que l'on ajoute au chiffre suivant {vers la gauâie) du nombre inférieur.

On dispose l'opération comme ci-dessous :

et l'on dit :

2 ôté de 6 reste 4 ; 7 ôté de 15 reste 8 : je pose 8 et je retiens 1 ; 1 et 4 font 5 ; 5 ôté de 12 reste 7 : je pose 7 et je retiens 1 ; 1 ôté de 3 reste 2. Le reste est 2784.

16. Preuve. — Pour faire la preuve de la soustraction, on ajoute le plus petit nombre et le reste : si l'opération est bien faite, et si l'on ne s'est pas trompé dans cette addition, on doit trouver le plus grand nombre.

Pour faire la preuve de l'addition on recommence l'opération dans un autre ordre.

Multiplication des nombres entiers.

17. Définitions. — La multiplication des nombres entiers est une opération qui a pour but de répéter un nombre entier appelé multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités

MULTIPL1CATI0?Ï 4 \

dans un autre nombre entier appelé multiplicateur \ la multiplication n'est donc qu'une addition abrégée.

Le résultat de la multiplication s'appelle produit ; le multiplicande et le multiplicateur sont appelés les facteurs du produit.

On indique la multiplication en écrivant le multiplicateur à droite du multiplicande et en séparant par le signe X> qu'on énonce multiplié par : ainsi 3x4 s'énonce 3 multiplié par 4.

Lorsque plusieurs nombres entiers sont donnés dans un ordre déterminé, on appelle produit de tous ces nombres ou facteurSy le nombre qu'on obtient en multipliant le premier par le second, le résultat obtenu par le troisième, et ainsi de suite. On indique cette suite de multiplications en écrivant tous ces nombres dans Tordre donné sur la même ligne horizontale, et en séparant chaque nombre du suivant par le signe K.

Ainsi 3x5x4x6 signifie qu'il faut multiplier 3 par 5, puis le résultat obtenu par 4, puis le nouveau résultat par 6. D'après cela, si on donnait les mêmes nombres daris l'ordre 5, 4, 6, 3 par exemple, au Ueu de les donner dans l'ordre 3, 5, 4, 6, il n'est pas évident que le produit 5x4x6x3 soit égal au produit 3x5x4x6; cependant nous prouverons que ces deux produits sont bien égaux. (Voir les Théorèmes sur la multiplication, page 16.)

18. Consêqueaces. — !• Considérons un produit de plusieurs facteurs, par exemple le produit

Par définition, pour effectuer ce produit on doit multiplier 3 par 4, puis le résultat obtenu par 5, et ainsi de suite. Mais 3 X 4 X 5 = 60 ; donc, pour terminer l'opération, il faudra multiplier 60 par 6, etc. Il en résulte que

On énonce ce résultat en disant que dans un produit de plusieurs facteurs on peut remplacer les deux premiers facteurs, ou les trois premiers facteurs, etc. par leur produit effectué.

20 Inversement, on peut lire l'égalité précédente 60X6X7X8 = 3X4X5X6X7X8, et on voit alors que si le premier facteur ^ 60^ d'un produit

est le produit effectué 3x4x5, on peut le remplacer par le produit 3x4x5 non effectué.

19. Théorème. — Un produit de deux facteurs ne change pas quand on intervertit V ordre de ces facteurs.

Il s'agit, par exemple, de prouver que 3X4 = 4X3.

3x4 signifie 3 unités répétées 4 fois. Ecrivons donc 3 unités sur une ligne horizontale et répétons cette ligne 4 fois ; nous formons ainsi le tableau

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Il est clair que le nombre des unités contenues dans ce tableau est le même quelle que soit la manière de les compter. En les comptant par lignes horizontales, on voit qu'il y a 3 unités sur chaque ligne horizontale ; et comme il y a 4 hgnes horizontales, le nombre total des unités est 3 répété 4 fois, c'est-à-dire 3x4.

En les comptant maintenant par lignes verticales, on voit qu'il y a 4 unités sur chaque hgne verticale ; et comme il y a 3 lignes verticales, le nombre total des unités est 4 répété 3 fois, c'est-à-dire 4x3. On a donc bien 3x4 = 4X3.

20. Corollaire. — Pour multiplier un nombre par 10, 100, 1000, ...il suffit d'écrire 1, 2, 3, ... zéros à la droite de ce nombre.

Je dis par exemple que 346 X 1000 = 346000.

En effet, 346 X 1000 = 1000 X 346,

c'est-à-dire 346 fois 1000, c'est-à-dire enfin 346000.

21. Théorème. — Un produit de trois facteurs ne change pas quand on intervertit l'ordre des deux derniers facteurs.

Je dis par exemple que

Pour eflfectuer le premier produit, il faut répéter 4 fois 5, puis 3 fois le produit obtenu. Ecrivons donc 4 fois le chifl're 5 sur une ligne horizontale, puis répétons cette ligne 3 fois. Nous obtenons ainsi le tableau

qui, d'après la manière même dont il a été formé, contient un nomt/re total d'unités égal à 5x4x3.

Mais on voit que sur chaque ligne verticale de ce tableau il y a 5 unités répétées 3 fois ; et comme il y a 4 lignes verticales, le nombre total des unités du tableau est aussi 5x3x4. Comme ce nombre n'a pas changé avec la manière de l'obtenir, on a bien

22. Corollaire. — Pour multiplier un nombre par un chiffre significatif suivi de zéros, il suffit de le multiplier par ce chiffre significatif et d'ajouter à la droite du produit autant de zéros qu'il y en a à droite du chiffre significatif.

Je dis par exemple que

En effet,

Or, 400 étant égal à 4x100, on a vu (18, 2'») que 400 X 637 = 4 X 100 X 637. Intervertissant l'ordre des deux derniers facteurs, il vient

Mais on a 4X637 = 637x4;

donc 4 X 637 X 100 = 637 X 4 X 100,

et par suite, en remontant la série des égalités, il vient finalement

23. Théorie de la multiplication. — Nous distinguerons trois cas :

Premier Cas. — Multiplication de deux nombres d'un seul chiffre.

On répète le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur. Pour faciliter cette opération on se sert de la table de Pythagore, qu'il faut savoir par cœur.

Pour former une table de Pythagore on écrit les 9 premiers nombres sur une ligne horizontale. On écrit au-dessous les 9 nombres obtenus en ajoutant à lui-même chacun des nombres de la première ligne, c'est-à-dire les produits des 9 premiers nombres par 2. Sur une troisième ligne horizontale, on écrit les nombres obtenus en ajoutant les nombres de la première ligne aux nombres correspondants de la deuxième : on obtient ainsi les produits des 9 premiers nombres par 3, car oh a répété 3 fois chacun de ces nombres.

En ajoutant ensuite les nombres de la première ligne à ceux de la troisième, on obtient les nombres de la quatrième ligne, qui sont les produits respectifs des nombres de la première ligne par 4. On continue ainsi jusqu'à ce que l'on ait obtenu 9 lignes horizontales^ ce qui conduit à écrire le tableau suivant :

ir.

C'est ce tableau qu'on nomme la table de Pythagore, et sa seule inspection donne le produit de deux nombres d'un seul chififre. Pour avoir, par exemple, le produit de 8 par 7, il suffit de prendre le nombre du tableau qui se trouve sur la septième ligne borizontale et sur la huitième ligne verticale : on a ainsi 8 X 7 = 56.

Deuxième cas. — Multiplication d'un nombi^e de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul chiffre.

Soit, par exemple, à multiplier 426 par 7. Il faut répéter 426 sept fois, c'est-à-dire ajouter 7 nombres égaux à 426. Si Ton fait l'addition d'après la règle (11), on voit qu'il faut répéter 7 fois 6, c'est-à-dire multiplier 6 par 7, ce qui donne 42. On écrit donc 2 dans la colonne des unités et l'on retient 4 pour les ajouter aux dizaines. Si l'on ajoute maintenant les dizaines, on voit qu'il faut répéter 7 fois 2, c'est-à-dire multiplier 2 par 7, ce qui donne 14 ; 14 et 4 de retenue font 18 ;

MUr.TlPLICATION i5

on érrlt donc 8 dans la colonne des dizaines et Ton retient 1 pour rajouter à la colonne des centaines, et ainsi de suite jusqu*àce qu'on ait ajouté les chiffres de la dernière colonne, de droite à gauche.

On est ainsi conduit à la règle suivante :

Règle. — On écrit le multiplicateur au-dessous du multiplicande. On multiplie le premier chiffre à droite du multiplicande par le multiplicateur ; si le produit ne surpasse pas 9, on l'écrit tel qu'on le trouve; s'il surpasse 9, on écrit le chiffre des unités, et l'on retient les dizaines pour les ajouter au produit suivant. On multiplie ensuite le deuxième chiffre à droite du multiplicande par le multiplicateur ^ et Von ajoute la retenue ; si le résultat ainsi obtenu ne surpcuise pas 9, on l'écrit tel qu'on le trouve et à la gauche du premier chiffre écrit ; s'il surpasse 9, on écrit le chiffre des unités de ce résultat à gauche du premier chiffre, et Von retient les dizaines pour les ajouter au produit suivant, et ainsi de suite.

On dispose Topération comme ci-dessous :

et l'on dit :

1 fois 6 font 42 : je pose 2 et je retiens 4 ; 7 fois 2 font 14 ; 14 et 4 de retenue font 18 : je pose 8 et je retiens 1 ; 7 fois 4 font 28 ; 28 et 1 de retenue font 29 : je pose 9 et j'avance 2.

Troisième cas. — Multiplication de deux nombres quelconques.

Soit à multiplier 321 par 426. Par définition, il faut répéter 426 fois 327, c'est-à-dire ajouter 426 nombres égaux k 327. Or, 426 se compose de 6 unités, 2 dizaines et 4 centaines. Donc pour répéter 426 fois 327, on peut le répéter d'abord 6 fois, puis 20 fois, puis 400 fois, et ajouter ensuite tous les résultats obtenus ; ce qui revient à multiplier 327 successivement par 6, par 20, par 400 et à ajouter ces divers produits.

Mais

Pour ajouter ces trois nombres nous formons le tableau

139302 , et nous observons : 1° qu'il est inutile d'écrire le zéro qui est à la droite du second produit partiel, à la condition d'écrire le premier chiffre qui précède ce zéro dans la colonne des dizaines ; 2** qu'il est également inutile d'écrire les deux zéros qui terminent le troisième produit partiel, à la condition d'écrire le premier chiffre qui précède ces zéros dans la colonne des centaines, et ainsi de suite, sMl y avait d'autres produits partiels.

Cela conduit évidemment à la règle suivante : Règle. — On écrit le multiplicateur au-dessous du multiplicande de manière que les unités de même ordre se correspondent. On multiplie ensuite le multiplicande successivement par chaque chiffre du multiplicateur (P® cas), en ayant soin de placer le premier chiffre de chaque produit partiel au-dessous du chiffre du multiplicateur qui Va fourni. Enfin ^ on ajoute les divers produits partiels ainsi obtenus. On dispose l'opération comme ci-dessous :

24. Preuve. — Pour faire la preuve de la multiplication, on recommence l'opération en intervertissant l'ordre des deux facteurs. S'il n'y a pas erreur, les deux résultats doivent être identiques.

Théorèmes simples relatifs à la multiplication.

25. Théorème I. — On ne change pas la valeur d'un produit de plusieurs facteurs en intervertissant d'une manière quelconque l'ordre des facteurs.

La proposition a déjà été établie (19) pour un produit de deux facteurs. On a démontré aussi (21) que dans un produit

de trois facteurs on peut inter^^ertir Tordre des deux derniers facteurs sans changer le résultat.

Cela posé, pour démontrer le théorème énoncé, nous allons prouver d'abord que dans un produit de plusieurs facteurs on peut intervertir Vordre ^e deux facteurs consécutifs, sans changer le résultat.

Considérons donc un produit de plusieurs facteurs, par exemple le produit.

7X5X4X8X9X3X6, et prouvons que Ton peut intervertir l'ordre des deux facteurs 8 et 9, c'est-à-dire prouvons que l'on a

Observons pour cela que, pour effectuer Tun ou l'autre de ces deux produits, il faut commencer par multiplier 7 par 5 et le résultat obtenu par 4. Supposons alors ces multiplications effectuées et représentons par (7x5x4) le résultat obtenu, les parenthèses servant à indiquer que le produit est supposé effectué. Puis, considérons le produit des trois facteurs (7x5x4)x8x9. En intervertissant l'ordre des des deux derniers facteurs de ce produit on a (21)

Mais si deux nombres sont égaux, en les multipliant sucsessivement par 3 et par 6, les produits obtenus sont évidemment égaux ; il en résulte

Rien n'empêche maintenant de supprimer les parenthèses ; car cela revient à remplacer un produit effectué par un produit non effectué (18, 2"»). On a donc 7X5X4X8X9X3X6 = 7X5X4X9X8X3X6, et il n'y a qu'à lire l'égalité en sens inverse pour retrouver régahté (1) que Ton s'était proposé d'établir.

Pour prouver maintenant que l'on peut intervertir à volonté Tordre des facteurs d'un produit sans changer le produit, il suffit d'observer que, par des échanges successifs, on peut amener un facteur donné du produit à occuper le rang que Ton veut dans ce produit.

26. Corollaires. — 1** Dans un produit de plusieurs facteurs on peut remplacer un groupe de facteurs du produit par leur produit effectué, sans changer le résultat.

Car on peut écrire les facteurs dans un ordre tel que les

MANUEL DE RHÉT. 2

facteurs que Ton veut remplacer par leur produit effectué, soient consécutifs à partir du premier. Alors la proposition résulte de la définition même du produit de plusieurs facteurs (17).

2" Pour mîdtiplier un produit de plusieurs facteurs par un nombre, il suffit d'introSuire ce nombre à n'importe quelle place pai^mi les facteurs du produit. — De même pour multiplier un nombre par un produit de plusieurs facteurs y il suffit d'introduire ce nombre à n'importe quelle place parmi les facteurs du produit,

27. Théorème |I. — Pour multiplier une somme par un noînbre, il suffit démultiplier chaque terme de la somme par ce nombre et d'ajouter les résultats obtenus.

Pour indiquer que Ton multiplie une somme par un nombre, pour indiquer par exemple que l'on multplie 7 -h 6 -4- 5 par 3, on écrit (7 -f- 6 h- 5)X 3 ou 3 X (7 -i- 6 -h 5). Pour démontrer le théorème sur cet exemple, il s'agira donc de prouver que l'on a

Or ceci résulte évidemment de ce que, en faisant les opérations indiquées, on répète 3 fois chaque partie de la somme et, par suite, on répète 3 fois la somme elle-même.

28. Théorème 111. — Pour multiplier deux sommes entre elles, on peut multiplier chaque terme de la première successivement par chaque terme de la deuxième et ajouter les résultats obtenus.

Pour indiquer que l'on doit multiplier deux sommes entre elles, on les met entre parenthèses, en les séparant par le signe X.

Soit par exemple à multiplier 6 -h 7 -h 5 par 3-4-8. 11 s'agit de prouver que l'on a

(6-f-7-h5)X(3+8)=6x3-f-7x3+5x3-h6x8+7x84-5x8. La somme 3 n- 8 effectuée est égale à 11, de sorte que

(6 -+- 7 + 5) X (3 ■+- 8) = (6 -+- 7 -h 5) X 1 1 . Or, en vertu du th. II,

(6 +-7-+-5)Xll = 6X11-+-7X1H-5X11.

Mais, puisque 11 = 3 + 8, on a

6xll = 6x(3-f-8) = (3-}-8)x6=:6x3-+-6x8, 7xli = 7x(3H-8) = (3-h8)x7 = 7x3-f-7x8, 5Xll=Sx(3-+-8) = (3-h8)x5 = 5x3-+-5x8.

En faisant la somme, on a bien

29. Puissances d'un nombre. — On appelle puissance d'un nombre le produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre, Qucand le nombre des facteurs est égal à 2, on a la deuxième puissance ou le carré ; quand le nombre des facteurs est égal à 3, on a la troisième puissance ou le cube y et ainsi de suite ; 2, 3, ... s'appellent les degrés de la puissance.

Quand on effectue le produit de deux facteurs égaux à un nombre, on dit aussi qu'on élève ce nombre à la deuxième puissance ou au carré ; de même qufind on effectue le produit de trois facteurs égaux à un nombre, on dit qu'on élève ce nombre à la troisième puissance ou au cube, et ainsi de suite.

On indique qu'un nombre est élevé à une puissance au moyen d'un petit chiffre égal au degré, et placé un peu à droite et au-dessus du nombre : ce chiffre s'appelle Vexposant. Ainsi V s'énonce 7 exposant 3, et signifie 7x7x7.

30. Théorème l\, — Le produit de plusieurs puissances d'un même nombre est une puissance de ce nombre ayant pour exposant la somme des eccposants.

Par exemple, 8* x 8' = 8*^'. En effet,

4 fois ^Tlbîs^

31. Théorème V. — On élève un produit de facteurs à une puissance en élevant chacun des facteurs du produit à cette puissance.

Par exemple, (3 x 4x 5)« = 3* x 4» x 5«.

En effet, (3x4x5)=» = 3x4x5x3x4x5 ou, en groupant les facteurs 3, 4 et 5,

32. Corollaire. — Toute puissance d'une puissance d'un nombre est une puissance de ce nombre ayant pour exposant le produit des deu^x exposants.

Par exemple, {4t*Y = 4*^».

En effet, (A^Y = 4« x 4« x 4^ = 4*^*^2 - 48x3^

Division des nombres entiers.

33. Définitions. — Etant donnés deux nombres appelés respectivement dividende et diviseur^ la division du dividende

par le diviseur est une opération qui a pour but de tcouver combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Le nombre qui exprime combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende s'appelle le quotient à moins d'une unité, ou tout simplement le quotient.

En particulier, si le diviseur est plus grand que le dividende, le quotient est zéro ; si le diviseur est égal au dividende, le quotient est 1 ; si le diviseur est inférieur au dividende, le quotient est supérieur ou égal à 1 . Par exemple, le quotient de 9 par 7 est 1, parce que 9 ne contient 7 qu'une fois ; les quotients de 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 par 7 sont tous égaux à 2, parce que chacun de ces nombres ne contient 7 que 2 fois, etc.

Pour abréger le langage et récriture, on représente le dividende par une lettre. A, le diviseur par une lettre, B, et le quotient par une lettre, Q. On exprime alors que Ton divise A par B en séparant A et B par le signe : , que Ton énonce divisé par.

34. Conséquences de la définition. — Par définition le dividende contient le diviseur un nombre de fois égal au quotient, mais ne le contient pas un nombre de fois égal au quotient plus un. En d'autres termes, le produit du diviseur par le quotient est contenu dans le dividende, mais le produit du diviseur par le nombre obtenu en ajoutant Tunité au quotient n'y est pas contenu. C'est ce que Ton exprime au moyen des inégalités

BxQ^A<Bx(Q + l).

35. Définition du reste. — On appelle reste d'une division Texcès du dividende sur le produit du diviseur par le quotient. Le reste est évidemment inférieur au diviseur. En effet, on peut obtenir le quotient et le reste de la manière suivante : On retranche le diviseur du dividende, puis le diviseur du reste obtenu, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on arrive à un reste inférieur au diviseur. Ce reste est le reste de la division, et le quotient est le nombre des soustractions effectuées.

D'après cela, si Q est le quotient de la division de A par B, et si R est le reste, on a l'égalité

A = BxQ-hR, et, en outre, R est inférieur au diviseur B.

Réciproquement, si quatre nombres, A, B, Q, R sont tels

que Ton ait -

A=BxQ-f-R et que R sôit inférieur à B, en divisant A par B, le quotient de la division est Q et le reste R.

En effet, en vertu de cette égalité A est la somme de B x Q et de R ; comme R peut être égal à 0, on a certainement BXQ^A. (1)

D'autre part, si, au lieu d'ajouter R à B x Q, on ajoute B qui est supérieur à R, on augmente la somme ; de sorte que Ton a certainement aussi

A<BxQ-f-R, c'est-à-dire (27)

A<Bx(ft+l). (2)

Les inégalités (1) et (2) montrent que A contient B un nombre de fois égal à Q, mais ne le contient pas un nombre de fois égal à Q -h 1 ; donc Q est bien, par définition, le quotient de la division de A par B. D'ailleurs, R en est le reste, puisque l'égalité A = B X Q -h R signifie alors que R est l'excès du dividende sur le produit du diviseur par le quotient.

36. Remarque I. — Lorsque le reste est égal à 0, le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient. Dans ce cas, et dans ce cas seulement, on peut dire que la division est une opération qui a pour but de partager le dividende en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le diviseur: le nombre de ces parties s'appelle quotient. Dans les mêmes conditions, on peut dire aussi que la division a pour objet de trouver un nombre appelé quotient et quiy multiplié par le diviseur j reproduise le dividende,

37. Remarque H. — 11 est clair que si Ton diminue le diviseur sans toucher au dividende, le quotient augmente ou ne change pas ; tandis que si Ton augmente le diviseur sans toucher au dividende, le quotient diminue ou ne change pas.

Par exemple, supposons que le dividende soit 14, et prenons successivement comme diviseurs 7, 6, 4 et 8 : le quotient obtenu est 2, pour 7 et pour 6 ; il est 3 pour 4, et 1 pour 8.