ADDITION

supposons -les positifs et soient AB et CD ces deux segments. Il est clair que leur somme AD| est un segment de même espèce et que, d'après la définition même de la mesure, le nombre arithmétique qui mesure ADi est la somme des deux

nombres arithmétiques qui mesurent AB et CtDi, c'est-à-dire AB et CD. D'autre part, les segments étant de même espèce, c'est-à-dire positifs dans. le cas actuel, sont représentés par des nombres de même espèce, c'est-à-dire positifs dans le cas actuel. Alors, puisque la valeur absolue du nombre qui représente la somme est la somme des valeurs absolues des deux autres, il résulte de la définition même de l'addition (H) que le nombre qui représente la somme des deux segments est égal à la somme des nombres qui représentent les deux segments.

2« Deux segments d'espèces différentes. — Soient AB et CD deux segments d'espèces différentes. Le simple examen de la figure montre que leur somme ADi est un segment de

Di C,

même espèce que celui qui a la plus grande longueur, et dont la longueur est égale à la différence des longueurs des deux segments ; car la mesure de ADi ajoutée à la mesure de DiCi . ou de CD donne la mesure de AB, ce qui équivaut à dire que la longueur de ADi est la différence entre les longueurs de AB et de CD.

D'autre part, puisque par convention un segment algébrique est représenté par un nombre algébrique de même espèce, aux deux segments donnés correspondent deux nombres algébriques dont la somme a pour valeur absolue la différence des valeurs absolues, et dont l'espèce est la même que celle du nombre qui a la plus grande valeur absolue (H). 11 en résulte que la somme de ces deux nombres représente l)ien la somme des deux segments.

19. Corollaire. — Les deux opérations qui consistent à éijouier, d'une part, plusieurs segments situés sur le même

axtf, d* autre part, les nombres qui représentent ces segments^ peuvent être considérées comme deux opérations équvalenies.

20. Théorème. — - Une somme de trois nombres algébriques ne change pas quand on intervertit l'ordre des deux derniers termes.

Il s'agit de prouver que Ton a

a-hb-\-c = a-^-c-hb, a, bj c étant les trois nombres donnés. Pour cela, supposons que ces trois nombres représentent trois segments algébriques, AB, CD, EF; il suffira alors de prouver que l'on a

AB-hCD-f-EF = AB -h EF -h CD.

Or, pour effectuer la première somme» il faut, d'après la définition, prendre CiDi = CD, puis à la suite EiFt = EF :

la somme est alors le segment AFi . Mais AFi peut être considéré comme la somme de AB et de BFi ; d'autre part, on obtient BFi en portant CDi, puis EiFi, ce qui revient k dire que BFi est la somme CiDi-hEiFi, c'est-à-dire CD-+-EF. Ainsi, effectuer la première somme revient à ajouter à AB la somme CD -h EF. Il en résulte qu'effectuer la deuxième somme revient à ajouter à AB la somme EF -h CD. Or, la somme de deux nombres algébriques ne changeant pas (13) quand on intervertit l'ordre de ces deux nombres, il en est de même de la somme de deux segments algébriques, puisqu'il y a équivalence entre les deux opérations. On a donc

CD -h EF = EF -+- CD, et il en résulte alors qu'il revient au même d'effectuer la somme AB-hCD-hEF ou d'effectuer la somme AB-+-EF-+- CD^ puisque dans les deux cas on ajoute le même segment à AB. La proposition est ainsi démontrée.

21. Théorème. — La somme de plusieurs nombres algé briques ne change pas quand on change Vordre des termes à volonté.

La démonstration de ce théorème est identique à celle qiii a été donnée en arithmétique pour un produit de plusieurs nombres arithmétiques {Arithm.y 25).