Justification de la définition. — Pour justifier la

définition, il faut prouver que le reste c existe et qu'il est unique.

Nous ferons usage, pour cela, de la I>' C représentation des

nombres algébriques par des segments algébriques, et il suffira alors de prou-

ver que si Von donne deux segments algébriqties AP éi CD, il en existe un troisième et un seul qui, ajouté à CD, donne m segment égal à AB, A cet effet, prenons CD' =: CD, puis A'B' = AB ; le segment D'B' répond à la question, car on a

CD' -h DE' = AB' = AB ; ainsi il en existe un.

Il n'en existe qu'un ; car supposons qu'il en existe un autre et ajoutons-le à CD' ; il faut pour cela amener son origine à coïncider avec D', de sorte que si l'on appelle B' son extrémité, la somme est CD' -+- D'B". Or, cette somme, qui est A'B", doit être égale à AB, c'est-à-dire à A'B' ; donc A'B" = A'B' ; par suite B" coïncide avec B' et le segment D'B" avec le segment D'B' ; ce qui démontre la proposition et ce qui justifie en même temps la définition de la soustraction.

26. Th^^orème. — Pour retrancher un nombre ]b d'un autre nombre a, il suffit d'ajouter à a le nombre b' égal et de signe contraire à b,

Beprenons en eflfet l'égalité

a = b-hCy qui exprime que c est la différence entre a et &. On peut récrire

a == c-hb, et si l'on ajoute b' de part et d'autre, on aura

a-hb' = c-hb-hb'.

Mais (23) c -h 6 -+- 6' = c -h (b -+- b'),

et, d'autre part, il est manifeste que la somme & -4- b' de deux nombres égaux et de signes contraires est nulle ; donc

c -4- b -f- b' = c, et par suite a-hb' = c,

ce qui démontre la proposition.

D'après cela, on aura

27. Remarque. — Si l'on rapproche ce théorème de la définition de la soustraction, c'est-à-dire si l'on rapproche les deux égalités a-h b' = c et a — b=:c, on est conduit à considérer comme équivalents les deux symboles — b et -h b' ; on est donc conduit à convenir que le signe —

placé devant un nombre revient à remplacer ce nombre par le nombre égal et de signe contraire.

Si nous adoptons cette nouvelle convention et si a, 6, c, d sont des nombres quelconques, on comprend immédiatement la signification de l'une quelconque des expressions -f-a — 6 — c-f-d, — a — 6-+-c-hd, que Ton a obtenues en écrivant ces nombres à la suite les uns des autres et en faisant précéder chacun d'eux du signe -4- ou du signe — .

Pour calculer ou effectuer la première expression il faut ajouter à a le nombre égal et de signe contraire à 6, puis ajouter le nombre égal et de signe contraire à c au résultat obtenu, et ainsi de suite. De même pour calculer la deuxième il faut ajouter le nombre égal et de signe contraire à b au nombre égal et de signe contraire à a, et ainsi de suite.

De telles expressions s'appellent des sommes algébriques. Ainsi on appelle somme algébrique, des nombres quelconques écrits à la suite les uns des autres et précédés chacun du signe -f ou du signe — . Quand le premier nombre est précédé du signe -h, on s'abstient d'écrire ce signe.

Les considérations qui ont conduit à la définition d'une somme algébrique montrent clairement que l'on peut ramener les sommes algébriques aux sommes ordinaires et que, dès lors, les propriétés établies (21, 22, 23) pour les sommes ordinaires s'étendent aux sommes algébriques.

28. Théorème. — Deux sommes algébriques composées des mêmes nombres avec des signes respectivement contraires définissent deux nombres égaux et de signes contraires.

Rappelons d'abord que deux nombres égaux et de signes contraires ont une somme nulle (12). Réciproquement, si la somme S -f- Si de deux nombres est nulle, S et Si sont égaux et de signes contraires, puisqu'il n'y a qu'un seul nombre qui, ajouté à S, donne (25), et que le nombre Si remplit ces conditions.

Cela posé, soient

S = a — 6-f-c — d — e, S« = — aH-6 — c + d-he.

Si nous ajoutons ces deux égalités en groupant convenablement les termes, .ce qui est permis (21), et en observant que

MANUEL DE RHÉT. 7

Ton peut remplacer deux termes quelconques par leur somme effectuée (22), nous aurons

S -h S, =(a-a)-+-(ft— 6)-h(c-c)-h(<i — d)-^(e-e). Comme (a — a), {b — 6), etc. sont nuls, il Tient

S-+-S, = 0, ce qui prouve que S et Si sont de signes contraires.

29. Théorème. — Pour retrancher une somme algébrique Si d'un nombre S qui peut être lui-même une somme algébrique, il suffit d'écrire les termes de Si à la suite de S en changeant le signe de chacun d'eux.

Soit en effet S, =z — a — 6 -h c — d -f- c ; si S'i est le nombre égal et de signe contraire à S,, on Tient de Toirque S'i = a-hb —c-hd — e.

D'autre part, on a tu (26) que S — Si = S -h S'», et alors, d'après la règle d'addition (23), on a bien

S — Si = S-4-a-+-6 — c-hd — e.

Maltiplication.

30. Définition. — Par définition, le produit d'un nombre algébrique a par un autre nombre algébrique b est un troisième nombre c qui a pour Taleur absolue le produit des Taleurs absolues de a et de b, et pour signe le signe -+- ou le signe — suivant que a et & ont les mêmes signes ou des signes contraires. Les deux nombres a et 6 s'appellent les deux facteurs du produit ; a s'appelle le multiplicande et b le multiplicateur.

On exprime que c est le produit de a par b en écrivant l'une quelconque des égalités

c = axb, c = a.b.

On a, d'après cela :

31. Tliéorème. — Le produit de deux nombres algébriques ne change pas quand on intervertit l'ordre des deux facteurs.

En effet, la valeur absolue ni le signe du produit ne dépendent de l'ordre des facteurs, par définition.

32. Produit de plusieurs facteurs.— On appelle produit de plusieurs facteurs a, b, c, , l, donnés dans un

ordre déterminé, le nombre obtenu en multipliant le premier fticteur par le deuxième, le résultat obtenu par le troisième, et ainsi de suite jusqu'au dernier. On représente le produit de plusieurs facteurs par Tune quelconque des expressions

axb X l,

Dans un tel produit, comme dans tout nombre algébrique, il faut considérer la valeur absolue et le signe. La valeur absolue est évidemment égale au produit des valeurs absolues des facteurs du produit, et quant au signe, on voit sans difficulté qu'il est -h ou — suivant que le nombre des facteurs négatifs est pair ou impair. Par exemple, le signe du produit (— 3)(— 4)(— 5)(-i- 7) est —, parce que le nombre des facteurs négatifs est égal à 3 ; au contraire le signe du produit (--3)(— 4X— 5)(— 6)(-h 7) est -h, parce que le nombre des facteurs négatifs est 4. De là résultent immédiatement les deux propositions suivantes :

33. Théorème. — Pour qu'un produit de plusieurs facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.

£n effet, il faut et il suffit que la valeur absolue soit nulle ; or, la valeur absolue est le produit des valeurs absolues des divers facteurs ; donc il faut et il suffit que la valeur absolue de l'un des facteurs du produit soit nulle et par suite que l'un des facteurs soit nul.

34. Théorème. — Dans un produit de plusieurs facteurs algébriques f on peut intervertir à volonté Vordre des facteurs sans que le produit soit changé.

En effet, la valeur absolue est indépendante de l'ordre des facteurs (Arithm., 25). De même le signe dépend uniquement (32) de la parité du nombre des facteurs négatifs, mais nullement de Tordre des facteurs.

35. Corollaires. — !<> Dans un produit de plusieurs fact^ters algébriques, on peut remplacer deux ou plusieurs fa,oteurs i)ar leur produit effectué.

2" Pour multiplier un nombre algébrique a par un produit p tie facteurs algébriques, il suffit de multiplier a successivernent par les facteurs du produit V, dans uji ordre quel-

En d'autres termes, si P = bxA^ on a a.P = a.bx.d.

{Arithm., 26).

36. Théorème. — Pour multiplier une somme algébrique de deux termes par un nombre^ on multiplie chaque terme de la somme par ce nombre et on ajoute les résultats.

Une somme algébrique de deux termes peut toujours se ramener à la somme a -h & ; il s'agit alors de prouver que

(a + b)c = ac-h bc.

11 y a deux cas à examiner :

1° Les deux termes de la somme ont le même signe. — Soient a, {î, Y les valeurs absolues respectives de a, &, c. Puisque les deux termes a et b ont le même signe, la valeur absolue de a-hb est a -f- p ; celle de c étant y, la valeur absolue du produit (a-hb)c est {a-^^)y = ay -h^y. {Arithm., 27). Mais a et 6 ayant le même signe, ac et bc ont aussi le même signe ; donc la valeur absolue de ac -h bc est ay-h Py. Il en résulte que (a -hb)c et ac -h bc ont la même valeur absolue. Ces deux expressions ont aussi le même signe, qui est celui des deux termes ou le signe contraire suivant que c est positif ou négatif ; donc elles sont égales.

2* Les deux termes de la somme ont des signes contraires. — Comme Ton peut écrire la somme a-hb ou b -h a, on ne restreint pas le raisonnement en supposant a > p ; alors la valeur absolue de (a-\-b)c est (a — pjy = av — py. Or ac et bc ont des signes contraires, et comme on a ay > ?T, la valeur absolue de ac -h bc est aussi ay — py. Les deux expressions (a -h b)c et ac -h bc ont donc encore la même valeur absolue. Elles ont aussi le même signe, celui de a ou le signe contraire suivant que c est positif ou négatif ; donc elles sont égales. C. Q. F. D.

37. Corollaire I. — Pour multiplier une somme algé^ brique par un nombre^ on multiplie les divers termes de la somme par ce nombre et on ajoute les résultats (Arithm.,27}.

Ainsi (a-hb-hc-i-d)f=af-hbf-hcf-hdf.

38. Corollaire II. — Pour multiplier deux sommes entre elleSy on peut multiplier tous les termes de la première successivement par tous les termes de la seconde et ajouter les résultats (Arithm., 28).

39. Corollaire III. — Pour multiplier plusieurs sommes entre elles, on fait la somme de tous les résultats obtenus en prenant, de toutes les manières possibles y un terme dans chaque somme.

Ainsi (a -f- 6 -f- c){d -h f) = ad-haf

-hbd-^bf -hcd-^ cf,

40. Puissances. — On appelle puissance d'un nombre algébrique le produit de plusieurs facteurs égaux h ce nombre. Comme en arithmétique, la puissance w'*"* d'un nombre a se représente par a»".

Toute puissance paire d'un nombre positif ou négatif est un nombre positif; mais une puissance impaire d'un nombre négatif est un nombre négatif. Ceci résulte évidemment de la définition du produit de plusieurs facteurs (32).

Lorsque dans un produit il y a a facteurs égaux à a, P égaux à 6, etc., ^ égaux à /, on peut, comme en arithmétique, écrire ce produit sous la forme a».6? l\

4L Racines. — La racine w**"* d'un nombre algébrique a est un autre nombre algébrique b dont la puissance m est égale à a. On la représente, comme en arithmétique, par le symbole "^/cT, qu'on appelle un radical; m s'appelle Yindice du radical. On démontre que les nombres négatifs ont toujours une racine m**"" de même signe et une seule si m est impair et qu'ils n'en ont pas dans le cas contraire.

On démontre aussi qu'un nombre positif a deux racines ^^iixne. gj ^ gg^ pj^ij. gt qyg ggg ^gyx racines sont des nombres

égaux et de signes contraires ; qu'il n'a qu'une racine si m est impair, et que cette racine est un nombre positif.

Division.

42. Définition. — Diviser un nombre algébrique a par un autre nombre algébrique ft, c'est trouver un troisième nom- 'hre q appelé quotient et tel que le produit bq soit égal h a. J^es deux nombres a et 6 s'appellent respectivement diiHcLende et diviseur.

On représente le quotient q par le symbole -r-» que Ton

énonce a sur b et qu'on appelle une fraction algébrique. On a donc, par définition,

OU, ce qui revient au môme,

a = bq.

Le symbole* -r- n'a pas de sens quand & = 0.

43. Justification de la définition. — Il faut prouver que le nombre q existe et qu'il n'y en a pas d'autres.

1" Le quotient existe. — Divisons en effet la valeur î\bsolue (10) de a par celle de b et donnons au quotient ainsi obtenu le signe -f- si a et b sont de même signe, et le signe — dans le cas contraire ; le nombre q ainsi trouvé est le nombre cherché. Soient, en effet, a, 3, y les valeurs absolues respectives de a, 6, ^ ; on a évidemment, en vertu de la définition du quotient exact de deux nombres arithmétiques (V. Arithm., 115),

De plus, si a et 6 sont de même signe, comme q est positif, bq a le même signe que &, c'est-à-dire que a, ainsi que cela résulte du signe d'un produit de deux facteurs (30). Si a et 6 sont de signes contraires, comme q est négatif, le signe de bq est contraire à celui de &, c'est-à-dire le même que celui de a. De toutes façons bq et a ont la même valeur absolue et le même signe ; donc ils sont égaux.

2» Le quotient est unique, — En effet s'il en existe un autre, ({, de valeur absolue y', on doit avoir

Mais on a déjà trouvé Py = a ; on voit donc, en comparant les deux résultats, que y' doit être égal à y, ce qui signifie que q' doit avoir la même valeur absolue que g. Il doit aussi avoir le même signe ; car si l'on détermine le signe du produit b.q' en combinant le signe de b avec celui de q' (30), on doit trouver le signe de a ; et comme on doit trouver également le signe de a en combinant le signe de b avec celui de g, il est bien clair que les signes de q et' de q' doivent être les mêmes. C. Q. F.D.

La définition se trouve ainsi justifiée et nous sommes coo duits à la règle suivante :

Règle. — Pour obtenir le quotient — » on divise la vu