Rappel de la déflnUion. — Nous avons appelé

a fraction algébrique le symbole — qui exprime le quotient

de la division du nombre algébrique a par le nombre algébrique b non nul. Si donc on appelle q ce quotient, on a

on, ce qui revient au même,

a = bq.

48. Extension des propriétés démontrées en arithmétique. — Théorème l, — On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre non nul.

a Soit la fraction -- =zq, (1)

Prouvons d'abord que l'on a aussi ac

c désignant un nombre quelconque non nul. Pour cela, remarquons que régalité (1) est équivalente, par définition, à la suivante :

a=zhq\ par conséquent on a successivement

ac = hqû,

ac = {bc)q.

Cette dernière égalité exprime que

ac

Comme on peut passer de (2) à (1) en divisant les deux termes par c, on voit que la valeur de la fraction n'est pas changée quand on divise les deux termes par le même nombre.

49. Remarque. — Comme en arithmétique (95) , ce théorème permet soit de simplifier une fraction, soit de réduire plusieurs fractions au même dénominateur. La marche à suivre est la même qu'en arithmétique.

50. Théorème II. — La somme algébrique de plusieurs fractions ayant le même dénominateur est une fraction ayant le même dénominateur et dont le numérateur est égal à la somme algébrique des numérateurs.

Soient plusieurs fractions algébriques a b c

il s'agit de prouver que

Appelons en effet p, q, r les valeurs respectives des trois

fractions. On a, par définition,

a = mp, b — mq, c = mr [i)

abc

et 1 zzzp-hq — r.

Or, des égalités (1) on déduit

a-f-b — c = mp-f-wg — mr,

et d'autre part on a (37)

mp-^mq — mr = m(p -f- g — r).

11 en résulte a-hb — c = m(p ■+ q — r),

égalité qui exprime que p-^q — r, c'est-à-dire la somme