Dêtermiaer a priori le nombre des chiffres

du quotient. — Pour faire la théorie de la division, on examine plusieurs cas, suivant que le quotient a 1 ou plusieurs chiffres. Il importe donc de savoir trouver instantanément le nombre des chiffres du quotient.

Soit par exemple à trouver le nombre des chiffres du quotient de la division de 435267 par 741. Il est visible que le dividende est inférieur à 741 x 1000, tandis qu'il est supérieur à 741 X 100. Il en résulte que le dividende contient iOO fois le diviseur et ne le contient pas 1000 fois ; donc le quotient est supérieur ou égal à 100, mais certainement inférieur à 1000 ; donc il est compris entre 100 et 1000 et a 3 chiffres.

On raisonne d'une manière analogue dans tous les cas.

39. Théorie de la division. — Pour exposer la théorie de la division nous examinerons trois cas :

Premier cas. — Le diviseur et le quotient n'ont qu'un seul chiffre.

Soit, par exemple, à diviser 61 par 8. Le quotient est 7, parce que 8x7 = 66, tandis que 8 X 8 = 64. Le reste est 5, parce que 61 — 56 = 5.

Deuxième cas. — Le diviseur a plusieurs chiffres et le quotient n'en a qu'un.

Nous nous appuierons sur le lemme suivant : Pour diviser un nombre par un autre terminé par des zéros, on peut supprimer les zéros qui terminent le diviseur et autant de chiffres à la droite du dividende.

Cela signifie, par exemple, que le quotient de la division de 4139 par 700 est le même que celui de 41 par 7.

En effet, soit 5 le quotient de la division de 41 par 7. On a, puisque 5 est ce quotient,

7X5^41<7X6; donc, en multipliant tous ces nombres par 100,

On en conclut certainement

700X5 < 4139; mais 4100 et 700x6 étant composés tous deux de centaines, leur différence est au moins égale à 100 ; donc, en ajoutant 39 au plus petit, c'est-à-dire à 4100, on obtiendra un nombre inférieur au plus grand, c'est-à-dire à 700x6; car, pour passer de 4100 à 700 x 6, il faut îjjouter au moins 100 au premier de ces deux nombres.

Il suit évidemment de là que Ton a

700X5^ 4139 < 700X6, et, par suite, que le quotient de la division de 4139 par 700 est égal à 5, quotient de la division de 41 par 7.

Cela posé, soit à diviser 4139 par 741 . On reconnaît tout de suite que le quotient n'a qu'un seul chiffre en raisonnant comme au n^ 38. Si, au lieu de prendre 741 comme diviseur, nous prenons 700, le quotient ne change pas ou augmente (37). Or, nous venons de voir que ce quotient est le même que celui de 41 par 7 (division du 1®»* cas). Donc le quotient cherché est égal ou inférieur à 5. Pou)' trancher la question, il n'y a qu'à voir si le produit de 741 par 5 peut être retranché de 4139 : cette opération s'appelle Vessai du chiffre 5. Si elle est possible, 5 est le quotient cherché ; sinon, On essaie successivement 4, 3, etc., jusqu'à ce que l'on arrive à une opération possible. Le dernier chiffre essayé est le quotient demandé.

Dans l'exemple actuel le quotient est 5.

Règle. — On suppose le diviseur réduit à son premier chiffre à gauche y et le dividende réduit aux unités de même ordre que celles qui sont exprimées par le premier chiffre à gauche du diviseur. On divise le dividende ainsi modifié par le premier chiffre à gauche du diviseur ^ ce qui donne le chiffre du quotient ou un chiffre trop fort. Pour faire l'essai de ce chiffre, on examine si l'on peut retrancher du dividende complet le produit du diviseur complet par ce chiffre. Si la soustraction est possible, le chiffre est bon ; sinon on le diminue d'une unité et l'on essaie de la même manière le nouveau chiffre obtenu, et ainsi de suite.

Aemarque. — On peut quelquefois diminuer le nombre des essais. Reprenons l'exemple précédent, et substituons 800 au diviseur 741. Le diviseur ayant été augmenté, le quotient n'a pas changé ou a diminué. Le quotient est le même que celui de la division de 41 par 8, c'est-à-dire encore 6, donc 5 est le quotient cherché.

Troisième cas. — Le diviseur et le quotient ont plusieurs chiffres.

Nous nous appuierons sur le lemme suivant : Supposons, pour fixer les idées, que le quotient ait trois chiffres : pour avoir le chiffre des centaines du quotient, il suffit de diviser les centaines du dividende par le diviseur (division du 2« cas).

Soit, par exemple, à diviser 413982 par 741. On reconnaît immédiatement (38) que le quotient a trois chiffres, et il s'agit de prouver que le chiffre des centaines s'obtient en

divisant les 4139 centaines du dividenàe par 741. Ce quotient est, comme nous l'avons vu, égal à 5 : il s agit alors de prouver que le quotient contient 5 centaines mais n'en contient pas 6 ; en d'autres termes, que l'on a

Or, puisque 5 a été obtenu en divisant 4139 par 741, on a

En multipliant tous ces nombres par 100, on en déduit

On a donc a fortiori

741 X 500 Z, 413982, et, d'autre part, les nombres 413900 et 741 x 600 étant terminés par deux zéros diffèrent au moins par une centaine; de sorte que si l'on ajoute 82 < 100 au premier, on a encore

413982 < 741 X 600, puisque pour passer du premier au second de ces deux nombres il faut ajouter au moins 100 au premier et qu'on ne lui ajoute que 82.

On a donc bien

741 X 500 Z 413982 < 741 X 600, et 5 est le chiffre des centaines du quotient.

On verrait de la même manière que si le quotient a quatre chiffres, on obtient les milles du quotient en divisant les milles du dividende par le diviseur, et ainsi de suite.

Cela posé, proposons-nous de trouver le quotient de la division de 413982 par 741. Nous venons de voir que ce quotient a trois chiffres ; que l'on obtient le chiffre de ses centaines en divisant 4139 par 741 (division du 2« cas), et que ce chiffre des centaines est 5 . Appelons P le nombre de deux chiffres formé par les dizaines et par les unités du quotient, de sorte que le quotient est égal à 500 -h P. Soit d'ailleurs R le reste de la division des deux nombres proposés. On a

413982 = 741 X (500 -h P) H~ R, ou (27)

Retranchons alors du dividende le produit du diviseur par 500 : cela revient à retrancher 741 x5 de 4139 et à écrire 82 à la droite du résultat obtenu, ce qui donne 43482, et ce nombre, en vertu de l'égalité précédente, est égal à 741xP-4-H. Ainsi, on a

43482 = 741XP4-R,

et, en outre, R est inférieur à 741. 11 en résulte que P est le quotient de la division de 43482 par 741.

On voit alors que Ton obtiendra le chiffre des dizaines de P en divisant les 4348 dizaines de 43482 par 741, et ainsi de suite. D'après cela, voici la règle pratique :

Règle. — On sépare sur la gauche du dividende autant de chiffres qu'il en faut pour contenir le diviseur une fois au moins et 9 fois au plus. On divise le nombre ainsi formé à gauche, ou premier dividende partiel^ par le diviseur, ce qui donne le premier chiffre à gauche du quotient. On multiplie le diviseur par ce chiffre, et Von retranche le produit du premier dividende partiel, ce qui donne le premier reste, à la droite duquel on abaisse le chiffre suivant du dividende. On obtient ainsi le second dividende partiel, que Von divise par le diviseur, ce qui donne le deuxième reste, à la droite duquel on abaisse le chiffre suivant du dividende pour former le troisième dividende partiel, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait obtenu tous les chiffres du quotient. Le reste obtenu au moyen du dernier chiffre du quotient est le reste de la division.

On dispose l'opération comme ci-dessous :

Le quotient est 558, et le reste 504. Dans la pratique, on effectue simultanément la multiplication du diviseur par un chiffre du quotient, et la soustraction de ce produit du dividende partiel correspondant.

40. Preuve. — Pour faire la preuve de la division, on multiplie le diviseur par le quotient, et on ajoute le reste au produit ; le résultat obtenu doit être égal au dividende.

41. Théorôme. — Pour diviser un produit de facteurs par un facteur de ce produit, il suffit de supprimer le facteur dans le produit.

Par exemple, le quotient de la division de 3x5x4x6

par 4 est le produit 3x5x6. En effet, si Ton chartge Tordre des facteurs, on a

3X5X4X6 = 4X (3X5X6); ce qui exprime (35) qu'en divisant 3 x 5 x 4 x 6 par 4 on obtient 3x5x6 Comme quotient et comme reste. La proposition est donc démontrée.

Caractères de divisibilité

par 2, 5, 4, 9 et 3.

42. Définitions. — On dit qu'un nombre est divisible par un autre quand la division du premier par le second donne pour reste zéro. Dans les mêmes conditions, on dit encore que le premier nombre est un multiple du secx)nd ou que le second est un diviseur ou un sous-multiple du premier.

Par exemple, 42 est divisible par 7, parce que si l'on divise 42 par 7 on a pour quotient 6 et pour reste : 42 est un multiple de 7.

Il est clair qu'un nombre entier quelconque, 7 par exemple, a une infinité de multiples ; car tout nombre multiplié par 7 donne comme produit un multiple de 7 ; mais la réciproque n'est pas vraie : un nombre donné n'est pas le multiple d'une infinité d'autres nombres, c'est-à-dire n'admet pas une infinité de diviseurs.

Les caractères de divisibilité permettent de reconnaître si un nombre est divisible par un autre.

43. Tliéorëme. — Quand un nombre en divise plusieurs autres, il divise leur somme.

Par exemple, 36, 27 et 15 étant divisibles par 3, la somme 36 -h 27 -h 15 est également divisible par 3. Car chacun des nombres 36, 27 et 15 étant un nombre exact de fois 3, leur somme est un nombre exact de fois 3, c'est-à-dire est divisible par 3.

44. Remarque. — On démontre de la même manière que si un nombre en divise deux autres, il divise leur différence.

45. Corollaire I. — Quand un nombre en divise un autre, il divise ses multiples.