ADDITION, SOUSTRACTION, MULTIPLICATION ALGÉBRIQUES

Exemples : — 2a?* -h 7x* — 4ict — 5a; -f- 9, 1 + 2a? — 5a?^ -f- 7a?' — a?* sont deux polynômes ordonnés, le premier par rapport aux puissances décroissantes de a?, le second par rapport aux puissances croissantes de la même lettre. Le polynôme

est ordonné à la fois par rapport aux puissances décroissantes de la lettre a et par rapport aux puissances croissantes de la lettre 5.

Addition, soustraction et multiplication algébriques.

64. Addition. — La valeur numérique d'un monôme est un nombre algébrique ; par suite l'addition de plusieurs monômes revient à l'addition de plusieurs nombres algébriques. On écrira donc les divers monômes les uns à la suite des autres en conservant son signe à chacun d'eux. Si parmi ces monômes il y en a qui sont semblables, on fera la réduction des termes semblables dans la somme, comme cela a été expliqué au n" 62.

Ainsi, par exemple, la somme des quatre monômes 2a'b, '— 4a*, — 7a*6, 5a6' est le polynôme

2a^b - 4a' — 7a*5 -f- ^ab\ ou bien le polynôme

65. Un polynôme étant une somme, la règle d'addition des polynômes sera la même que la règle d'addition des sommes (23). Ajoutons simplement qu'après avoir écrit les termes des divers polynômes les uns à la suite des autres, on fait la réduction des termes semblables. Pour faciliter cette réduction, il y a avantage à les ordonner par rapport aux puissances d'une lettre et à disposer l'opération comme dans l'exemple ci-dessous :

66. Soustraction. — Pour retrancher detix monômes on écrit le second à la suite du premier en changeant son signe»

36 ALCEBIE

Pour retrandier un poli/momeyrune expremion^ on écrit Us termes du polifnome à la suite de Cexpression en diangeant le signe de chacun d^eux.

Ces deux régies sont des conséquences de la théorie de la soustraction des nombres algébriques ,27 et 29).

67. Remarque. — Supposons que P, Pi, Pj, P, soient des polynômes, et proposons-nous de calculer Texpression

P-Pi — Ps-^-P^ Pour cela, nous écrirons le polynôme P sur une première ligne horizontale ; au-dessous nous écrirons le polynôme Pi en changeant les signes de tous les termes et eu ayant soin de placer les termes semblables sur la même ligne verticale, et ainsi de suite ; puis nous ajouterons, en faisant au fur et à mesure la réduction des termes semblables.

Soient par exemple

P = 2x* — 5i^«-f-3JF-^4

— P, = 3jp»-2x«-h4x— 3

— Pa =— Sj'-h x'-h Sjc» — Sx — 1 P, = 4x»— 3x*-+- x^— x-h2

P — Pi — P,-hP, = 3jc*+ x'-^-^t^-t' X-+-2

68. Maltiplication. — Les règles de multiplicatioa des monômes et des polynômes sont aussi des conséquences des règles de multiplication des nombres algébriques. Voici comment on les énonce :

!<" Pour multiplier deux ou plusieurs monômes entiers^ on multiplie les coefficients, et, à la droite du produit, on écrit toutes les lettres qui entrent dans les divers monômes, en affectant chacune d'elles d*un exposant égal à la somme des exposants.

Exemple : Soit à multiplier entre eux les trois monômes Aa^b, — r- ab*c, 'èabc ;

le produit est le monôme

— SaWcK

2» Pour multiplier deux ou plusieurs polynômes , on ajoute tous les produits obtenus en prenant de toutes les manières possibles un terme dans chaque polynôme,

Aûn de ne pas oublier de termes dans le produit, on multiplie le premier polynôme par le second, puis le résultat obtenu par le troisième, et ainsi de suite. Enfin pour multi-