DIVISION ALGÉBRIQUE

plier deux polynômes on adopte la disposition ci-dessous : a-—b-hc --e-hf — h

— ae-^be •— ce

-h af— bf-h cf

—-ah-hbh—ch

— ae -h be —- ce -{- af— bf-^-cf — ah -+- bh — ch

69. Remarque . — Voici quelques formules importantes que l'on obtient facilement d'après cette règle : (a -j- by = a* -+- 2ab -h ¥, (a -h bf = a' -h Sa^b -h Sab^ -h 6% (a — bf = a» — 2ab ■+- 6S (a — bY = a' — Sa^b -f- 3ab^ - b\ {a-hb)(a — b) = a^ — b\ On les énonce facilement en langage ordinaire. Par exemple la dernière peut s'énoncer ainsi : Le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence de leurs carrés y et vice versa.

Division algébrique.

70. Définition. — Diviser deux expressions algébriques revient à diviser leurs valeurs numériques ; le quotient de deux expressions algébriques sera donc une fraction algébrique ayant pour numérateur l'expression dividende et pour dénominateur l'expression diviseur. En général on ne pourra pas simplifier cette fraction. Nous allons examiner les cas principaux.

71. Division de deux puissances de la môme lettre ; exposant zéro. — Lorsque m et n sont des nombres entiers et positifs tels que m soit plus grand que n, le quotient — est égal à a'"-".

En effet, si l'on multiplie a*"-" par le diviseur, on retrouve le diTidende.

Supposons que w = n ; l'application de la règle précédente conduit à écrire

MANUEL DC HHÉT. 8

On trouve ainsi un symbole a® qui n'a pas de sens. On convient de considérer ce symbole comme équivalent àTunilé, quelle que soit la valeur numérique attribuée à a. On est du

a"* reste conduit à faire cette convention en observant que —

représentant le quotient de deux nombres égaux, représente

aussi Tunité.

72. Division de deux monômes. — La fraction algébrique qui représente le quotient de la division de deux monômes ne peut être simplifiée que si les deux monômes ont des facteurs communs. Pour que cette fraction se réduise donc à un monôme, il faut et il suffit que toutes les lettres du dénominateur figurent aussi au numérateur avec un exposant au moins égal à celui que chacune d'elles a au dénominateur. Dans ce cas le monôme quotient est ainsi composé :

1" Son coefficient est égal au quotient des coefficients ;

2° Sa partie littérale se compose des lettres qui entrent au numérateur, et l'exposant de chacune d'elles est égal à la différence des exposants qu'elle a au numérateur et au dénominateur.

D'après cela, on aura

73. Monôme et polynôme. — On ne peut, en général, simplifier la fraction algébrique qui représente le quotient de la division d'un polynôme par un monôme. 11 y a exception quand tous les termes du dividende sont divisibles par le diviseur; dans ce cas la règle à suivre est exprimée par l'égalité suivante :

et on l'énonce ainsi : Pour diviser un polynôme par un monôme on divise chaque terme du polynôme par le monôme, et on fait la somme algébrique des résultats.

On ne peut de même, en général, simplifier la fraction qui représente le quotient de la division d'un monôme par un polynôme.