LIVRE
Principes généraux sur les équations.
74. Définitions. — On appelle identité une égalité évidente par elle-même ou qui devient évidente à la suite d'opérations effectuées sur ses deux membres : 5 + 3=8 est une identité, et il en est de même de l'égalité (a-hbY = a^-h2ab-hb^.
Une équation est une égalité qui devient une identité quand on y remplace certaines des lettres qui y entrent par des valeurs particulières. Ces lettres s'appellent les inconnues de l'équation, et les valeurs particulières qu'il faut leur attribuer pour transformer l'égalité en identité portent le nom de solutions ou racines de l'équation : on les désigne habituellement par les dernières lettres de l'alphabet.
Par exemple l'égalité
3a; -f- 7 =16 devient une identité si l'on y remplace la lettre x par 3. Cette égalité est une équation dont l'inconnue est x et dont la solution est 3.
Résoudre une équation, c'est en chercher les solutions.
On dit qu'une équation est vérifiée ou satisfaite par ses racines pour exprimer qu'elle devient une identité quand on y remplace les inconnues par les racines.
On dit que deux équations renfermant les mômes inconnues sont équivalentes lorsque toute solution de la première est solution de la seconde, et inversement.
Quand on remplace une équation par une autre qui lui est équivalente, on dit qu'on n'altère pas l'équation proposée.
Plusieurs équations renfermant les mêmes inconnues et qui admettent des solutions communes constituent ce qu'on appelle un système d'équations.
Deux systèmes d'équations renfermant les mêmes ^ncon-
nues sont dits équivalents, quand toute solution du premier est solution du second, et inversemeïiit.
Il importe de bien définir ce qu'il faut appeler solution d'une ou de plusieurs équations.
Supposons, pour cela, qu'une ou plusieurs équations renferment les inconnues x, y, z et deviennent des identités quand on y remplace simultanément x par a, y par &, z par c ; dans ces conditions, on dit que l'ensemble des trois nombres a, h, c constitue une solution des équations considérées.
75. Théorème I. — On n* altère pas une équation quand on ajoute ou que Von retranche une même quantité à ses deux membres.
11 s'agit de prouver, par exemple, que toute solution de l'équation
est aussi solution de l'équation
et réciproquement.
En effet, toute solution de (1) rendant identiques les deux, nombres Sx-hl et 16 rend identiques les deux nombres 3a? -h 7 -h 4 et 16 -h 4 obtenus en ajoutant 4 à chacun des deux premiers.
Réciproquement, toute solution de (2) rendant identiques les deux nombres 3a? + 7-h4 et 16-h4 rend identiques les deux nombres 3a; + 7 et 16 obtenus en retranchant 4 aux deux premiers.
Plus généralement, soit l'équation
il faut prouver qu'elle est équivalente à
En effet, toute solution de (3) rendant A identique à B, rend A -h C identique à B -f- C ; donc toute solution de (3) est solution de (4).
La réciproque en résulte ; car on passe de (4) à (3) en ajoutant — C aux deux membres de (4).
Le raisonnement serait le même dans le cas de la soustraction.
76. Corollaire I. — On peut faire passer un terme d'une équation d'un membre dans Vautre en changeant son signe.
Par exemple, l'équation
peut s'écrire
car cela revient à ajouter 7 aux deux membres de Téquation et à remplacer dans le second membre — 7 -f 7 par 0. Mais réquation (2) se déduit de Téquation (1) en faisant passer — 7 dans le premier membre après avoir changé son signe ; d'où la proposition énoncée .
77. Corollaire II. — On peut faire passer tous les termes d'une équatiow dans un seul membre^ de manière que le second membre devienne ainsi 0.
En efTet, il n*y a qu'à faire passer successivement chaque
terme du second membre dans le premier, comme cela vient
d'être indiqué, et le second membre devient ainsi 0. D'après
cela réquation (1) du numéro précédent peut s'écrire
ou encore, en mettant x en facteur dans les deux premiers termes,
OU enfln
ce qui est une forme plus simple que la première.
78. Corollaire III. — On peut changer les signes de tous les termes d'une équation.
Car cela revient à faire passer tous les termes du premier membre dans le second, tous les termes du second dans le premier, et à lire le second membre de la nouvelle équation à la place du premier, et vice versa,
79. Théorème II. — On n'altère pas une équation en multipliant ou en divisant ses deux membres par une même quantité qui n'est pas nulle.
Par exemple les deux équations
et
sont équivalentes. Soit en effet 6 une solution de la iiremière. Pour a? = 6 les deux nombres 2a? — 7 et 5 sont identi-
ques ; donc les deux nombres 3{2x — 7) et 3x3, obtenus en multipliant les premiers par 3 sont aussi identiques ; ce qui montre que toute solution de (1) est solution de (2).
On voit de même que toute solution de (2) est solution de (1), car on passe de (2) à (1) en multipliant les deux membres
par ^ ; donc les deux équations sont bien équivalentes.
Plus généralement, soit l'équation
nous allons prouver qu'elle est équivalente à
pourvu que C ne puisse pas devenir nulle.
En effet, toute solution de (3) annulant A, annule le produit A.C et est par suite solution de (4^.
Réciproquement, toute solution de (4) annule A puisque G ne peut devenir nulle ; par suite elle est solution de (3) .
Le cas de la division en résulte ; car diviser par C, c'est
multiplier par -.
Si l'on avait C=0, l'équation (4) admettrait les solutions de
l'équation C=0, qui ne sont pas des solutions de l'équation (3).
80. Corollaire. — Si une équation renferme des dénominateurs, on peut laremplacer par une équation équivalente n'en renfermant pas.
La règle à suivre consiste à réduire tous les termes au même dénominateur et à multiplier ensuite les deux membres par le dénominateur commun.
Toutefois il n'est pas sûr qu'une solution de la nouvelle équation satisfasse à la première. On en est sûr si elle n'annule pas le dénominateur commun ; dans le cas contraire, il faut s'en assurer par une substitution directe.
Exemple iVéquation rr: — 7 = 4a? -+- ^ 3 5
est équivalente à l'équation
2x5a: — 7x3x5 =4X3X 5a? -4- 3x3, c'est-à dire à l'équation
10a?— 105 = 60a; -h 9, obtenue en multipliant les deux membres de l'équation proposée par le dénominateur commun, qui est 3x5 = 15.
81. Définitions. — On dit qu'une équation est rationnelle quand elle ne renferme pas l'inconnue ou les Inconnues
SOUS un radical ; on dit qu'elle est entière quand elle ne renferme pas d'inconnue en dénominateur. Par exemple Téqua-
tion 2ic* — 7a? = - a? — 5 est une équation rationnelle et
entière. L'équatioa .__a = 9 est une équation qui
n'est pas entière, et l'équation
x—l-h 3^a?— 2 = 4 est une équation irrationnelle ^ c'est-à-dire qui n'est pas rationnelle.
On appelle degré d'une équation rationnelle et entière la somme des exposants des inconnues dans les termes où cette somme a la plus grande valeur. Par exemple Téquation
2a^ — 7a? = 5 a? — 5 est du second degré.
82. Remarque. — Dans ce qui précède il a été question d'une seule équation ; nous allons nous occuper maintenant de systèmes d'équations.
