Théorème III. — Un système de deux équations

est équivalent au système

Aw -h Bn = 0, ""^i

pourvu que n ne soit pas nul.

En effet, toute solution de (1) annulant A et B annule la somme Awi -+- Bn, c'est-à-dire est solution de (2).

Réciproquement, toute solution de (2) est solution de (1), car elle annule A et Aw H- Bn ; par suite elle annule A et B, puisque n n'est pas nul.

Considérons, par exemple, le système des deux équations 2.rH-o2/ = -4,

dx - Ay = 17, ^"^^

et ajoutons-les membre à membre après avoir multiplié la première par 3 et la deuxième par — 2 ; nous obtenons ainsi Féquation

(2.a?-h5y)3 — (3a; — 4^)2 = —4x3—17x2, et le théorème démontré signifie, sur cet exemple, que le système formé par cette équation el par l'une des deux équations données est équivalent au système formé par ces deux équations. La démonstration donnée dans le cas général

s'applique facilement à ce cas particulier. Supposons en effet que l'on associe Téquation obtenue à la première équation donnée, de manière à former le système

(2arH-5y)3—(3a?-4î/)2 = — 4X3 —17X2. ^*^ Toute solution de (3) rendant 2a? -h 5^/ identique à — 4 et 3a? — Ay identique à 17 est solution du système (4).

Réciproquement, toute solution de (4) rendant 2.x -h 5y identique à — 4 rend (2a? + 5j/)3 identique à —4x3; mais si alors, dans la deuxième équation (4), on supprime de part et d'autre les deux nombres identiques (2a? + 5y)3 et

— 4 X 3, on voit que toute solution de (4) rend

— (3i? — iy)2 identique à — 17 X 2, c'est-à-dire 3a? — 4y identique à 17. En résumé, toute solution de (4) est bien solution de (3).