I. — Méthode de résolution par substitutions

Soit par exemple à résoudre le système

a: -f- î/ — ;s = 6, J x — 2y-hz = -2, i [{)

2x-^-3y-h^z=^l. ) En vertu du théorème IV, ce système est équivalent au suivant :

X =: 6 — y-hz, \

12 + yH-7;r:^7, )

qui a été obtenu en tirant x de la première équation du système (1) et en substituant dans les deux autres.

De la deuxième équation (2) je tire y et je porte dans les deux autres, ce qui donne le système

2js-h8 / =

équivalent à chacun des deux autres ; enfin de la dernière équation (3) je tire z = — i et je porte cette valeur de z dans chacune des deux premières équations (3), ce qui donne le nouveau système

équivalent à chacun des autres et donnant les valeurs des inconnues a?, y et z.

Comme on le voit facilement, la métliode s'étend à un système de n équations du premier degré à n inconnues : elle consiste à éliminer successivement x, y, etc. par l'emploi du théorème IV.

II. -— Méthode de résolution par réduction ou méthode des multiplicateurs. — Prenons par exemple un système de trois équations à trois inconnues

ax-hby-hcz = d \ a'x-hb'y-hc'z = d' > (1)

a"x -+- b"y -h c"z = d" ) Soient a, p, y trois nombres que nous déterminerons ultérieurement. Ajoutons les trois équations membre à membre, après aToir multiplié les deux membres de la première par a, les deux membres de la deuxième par p et les deux membres de la troisième par y ; nous obtenons ainsi l'équation (aa-f-a'p-ha"r)a;-h(&aH-&'|3-h6''Y)î/-}-(ca-+-c'p-+-c"Y)z ,9.

=doL-hd'^-hd"-r, ^^^ Supposons alors que Ton puisse déterminer les nombres a, p, y non tous nuls et de manière à annuler dans cette équation les coefficients de toutes les inconnues sauf une ; par exemple de manière à vérifier deux équations, aa -j- a'p -j- a"y = 0, fca-f-ft'P -f-6"Y = 0, dont les premiers membres sont les coefficients respectifs de X et de y. Cela étant fait, de l'équation (2; on pourra tirer la valeur de z ; soit z = h cette valeur. Supposons que ï par exemple ne soit pas nul ; en vertu du théorème n» 83, le système (1) peut être remplacé par le système équivalent

ax-^by-h ch •= d ) a'x + b'y -f- c'h = d' > (3)

z=:h ) dans lequel les deux premières équations seules renferment xety ; de sorte que pour résoudre le système proposé il suffira de résoudre ces deux équations auxquelles on peut appliquer le même procédé, de manière à obtenir ainsi un nouveau système

ax -h bk -hch = d )

z = h ) équivalent au système (3). Ce nouveau système permet d'obtenir facilement x, y et z»

On voit que l'on pourrait opérer de même pour un système de n équations à n inconnues.

Appliquons ceci à l'exemple numérique déjà traité a? H- 2/ — js = 6 ) x — 2y-i-z = —2> (5)

2x-h3y-hbz = l )

Multiplions respectivement de pcart et d'autre par a, p, y, et ajoutons membre à membre ; nous obtenons ainsi l'équation

a;(a-hp-4-2Y)-4-î/(a-2pH-3y)-f-2(— a+p-hSy) = 6a— âp-hly. (6)

Déterminons maintenant a, p, v au moyen des équations

a — 2Ph-3y = 0.

En prenant p = 1, on tire facilement de ces équations

Pour ce système de valeurs de a, p, y, l'équation (6) devient 23jz; = — 23, et donne z = — 1 .

En portant dans les équations (5) et observant que le multiplicateur y de la troisième de ces équations n'est pas nul, on peut (84) remplacer le système (5) par le système équivalent x-hy-hi = 6 a? — 2y — l = --2 z = — i

ou, ce qui revient au même, par le système x-hy = 5 )

z = -l ) Ajoutons membre à membre les deux premières équations de ce système, après avoir multiplié respectivement de part et d'autre par X et (i, ce qui donne

xÇk -h rt -h y{\ - 2{i.) =5^-11. (8]

Déterminons X et (i. au moyen de l'équation

>.-h|jL = ; en prenant (i. = 1, cette équation donne X = — 1, et pour ces valeurs de )v et de [i, l'équation (8) devient

et donne y = 2 ;

de sorte que si Ton remplace dans (7), ce système peut être remplacé par le suivant, qui lui est équivalent : a?4-2 = 5, î/ = 2, 2: = -!, système qui donne finalement

90. Remarque. ~ Dans certains cas on voit tout de suite comment il faut choisir les multiplicateurs pour que

les coefûcients de toutes les inconnues, sauf une, soient nuls. Soit par exemple le système

ax-hhy = c )

a'x -hb'y = & ) ^ '

Supposons que a et a' soient tous deux différents de zéro ; en multipliant respectivement par — a', a et ajoutant, on obtient l'équation

(ab' — ha')y = ac' — ca', (2)

qui ne contient pas œ.

En ajoutant de môme membre h membre après avoir multiplié respectivement de part et d'autre par 6' et — &, on obtient l'équation

[ab' — ba')x = cb' — bc'. (3)

Les équations (2) et (3) font connaître x et y quand le système (1) admet une solution.

Toutefois le système formé des équations (2) et (3) n'est pas toujours équivalent au système (1), parce que pour le former on n'a pas procédé régulièrement, comme cela a été expliqué dans le numéro précédent.

91. Méthode d'élimi nation par addition ou soustraction.— La méthode des multiplicateurs fournit le moyen d'éliminer simplement une inconnue entre deux équations. Nous en avons vu un exemple dans la remarque précédente, et comme cette méthode est très fréquemment employée pour la résolution des équations du premier degré, nous allons traiter plusieurs exemples numériques.