Exemple HT. — Résoudre le système

^x-h2y — z = i ) Éliminons d'abord y entre les deux premières équations. Pour cela observons que les coefficients de y dans ces deux équations étant égaux et de signes contraires, il suffit de les ajouter membre à membre. On obtient ainsi l'équation

Ax-3z = — 2. (2)

Multiplions maintenant les deux membres de la première équation par 2 et ajoutons-la membre à membre avec la troisième ; nous éliminons ainsi de nouveau y et nous obtenons réquation

Les équations (2) et (3) peuvent ainsi remplacer deux des équations (1), par exemple les deux dernières (84). Autrement dit, le système

4ar — 3z = — 2 ' V (4)

est équivalent au système (1).

Or, si Ton ajoute membre à membre les deux dernières

équations de ce système, on obtient

lla?= 11,

d'où l'on tire

Si l'on porte cette valeur de x dans les deux premières, on

obtient les deux équations

-yH-2j2; = 5,

dont la dernière donne z = 375 — 2, et dont par suite la

première donne

-î/ = l ou y = — 1 .

On satisfait donc au système proposé en prenant x= 1, î/ = — 1, Z — 2.

95. Remarque. — Les exemples traités jusqu'ici tendraient à faire supposer qu'un système renfermant autant d'inconnues que d'équations admet toujours une solution. 11 n'en est pas toujours ainsi. En efl"et, considérons par exemple

le système des trois équations à trois inconnues a? — 2/ H- 2:2; = 6 i 3x-hy — bz=—Bi (1)

2œ-h2y — lz = i2 ) Si l'on retranche membre à membre les deux premières équations, on obtient Téquation

2x-h2y — lz = — 14, qui peut remplacer Tune de ces deux équations, de sorte que le système (1) est équivalent au système a? — 2/ + 2z = 6 1

2x-h2y — lz = -'U i (2)

2x-i'2y — lz = 12 ) Mais, dans ce dernier système, la somme 2a? -4- 2t/ — Iz doit être égale d'une part à ~ 14, d'autre part à 12 ; donc le système (2) n*a pas de solution et il en est de même du système (1) qui lui est équivalent.

Résolution et discussion de deux équations du premier degré à deux inconnues.

98. Formules de résolution. — Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues peut être ramené à la forme

ax-\-by =: c

Pour le résoudre, on peut employer Tune des deux méthodes exposées dans le chapitre précédent, par exemple la méthode de substitution. A cet effet, supposons l'un des quatre coefficients a^hy a\ b' différent de zéro et soit par exemple ft =?f: 0. En tirant y de la première équation, ce qui est permis puisque b ^ 0, et portant dans la deuxième, on obtient le système

c — ax

b'{c — ax)

qui est équivalent au premier. Ce système peut à son tour être remplacé par le système équivalent

c — ax \ ' = -T- (2)

(ba' — ab')x = bc' — cb' ) La deuxième équation de ce système ne renferme que x ; si donc le coefficient de x n'est pas nul, on peut en tirer bc' — cb' ba — ab valeur que l'on porte dans la première des équations (2), ce qui donne, après réduction,

ca' — ad

^ ~ ba' — ab''

cb' — bc' \

Le système J^-^ [' ^^^

^ " ab' — ba' ) • équivalent au système proposé, donne les valeurs de x et de y (on a changé les signes des numérateurs et des dénominateurs).

97. Discussion. — Théorème I. — Lorsque le binôme ab' — ba' est différent de zéro, le système (1) admet une solution unique donnée par les formules (3).

En effet, si ab' — ba' est différent de zéro, l'un au moins des quatre coefficients a, b,a',b' est différent de zéro. Supposons que ce soit b ; alors en recommençant le raisonnement fait plus haut, on peut remplacer le système (1) successivement par (2) et (3), qui lui sont équivalents. Or, les équations (3) donnent un système unique de valeurs de x et , de y y ce qui démontre la proposition.

98. Théorème II. — Lorsque le binôme ab' — ba' est nul et que Vun au moins des quatre coefficients a, 5, a', b' n^est pas nul, le système n'admet pas de solutions ou en admet une infinité.

Supposons 6 :?^ ; le système (1) est alors équivalent au système (2), dans lequel la deuxième équation se réduit à = 6c' — cb'.

Si donc bc' --cb' 7^ 0, le système (2) n'a pas de solution. On dit encore qu'il est impossible ou que les équations proposées sont incompatibles.

SI au contraire bc' — cb' = 0, le système (2j se réduit n

MANUf^L DR «HÉT.

une seule équation,

c — ax

y = -jr'

qui fait correspondre une valeur de y à chaque valeur de x ; donc le système (2) admet une infinité 4e solutions, et par suite aussi le système (1) qui lui est équivalent.

99. Théorème III. — Lorsque le binôme ab' —ba' est nul ainsi que les quatre coefficients o, &, a\ b\ le système proposé est impossible si c et c' ne sont pas nuls tous deux; il est indéterminé dans le cas contraire.

Ce théorème est évident.

Inégalités.

100. Définitions. — On dit qu'un nombre quelconque c est plus grand qu'un autre nombre quelconque b lorsque la différence a — b est un nombre positif ; lorsque la même difl'érence est négative, on dit que a est plus petit que b.

101. Conséquences. — De ces définitions il résulte : 1« Que tout nombre positif est plus grand que zéro ; 2« Que tout nombre négatif est plus petit que zéro ;

3» Qu'un nombre positif est d'autant plm gra^id que sa valeur absolue est plus grande ;

4« Qu'un nombre négatif est d'autant plus petit qw sa valeur absolue est plus grande.

Lorsque la valeur absolue d'un nombre positif croît indéfiniment et de manière à devenir plus grande que toute quantité donnée, on dit que le nombre devient égal à plus l'infini (-f- oo ) ; de même, lorsque la valeur absolue d'un nombre négatif croît indéfiniment et de manière à devenir plus grande que toute quantité donnée, on dit que le nombre devient égal à moins IHnfmi (— œ ).

102. Remarque. — - Pour exprimer qu'un nombre est positif, on exprime souvent qu'il est plus grand que zéro ; oo exprime de même qu'un nombre est négatif en exprimant qu'il est plus petit que zéro.

103. Définition. — On dit que deux inégalités sont éqttivalentes lorsque chacune d'elles est une conséquence <!• l'autre.