INÉGALITÉS

104. Théorème I. — Lorsqu'on ajoute une même quantité aux deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité équivalente.

Soit, par exemple, l'inégalité

je dis qu'elle est équivalente à

a-hm y b-hm. (2)

En effet, l'inégalité (1) est équivalente à

a- fe > 0, et l'inégaUté (2) à

(a-\-m) — (b-hm)>Q; or, on a ia-hm) — {b-\-m) = a — ft,

donc les deux inégalités sont équivalentes.

105. Remarque. — La quantité m étant quelconque, on peut dire aussi qu'on transforme une inégalité en une autre équivalente en retranchant une même quantité de ses deux membres.

106. Théorème II.— Quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres d'une inégalité par une même quantité POSITIVE, on obtient une inégalité équivalente à la première.

Soit l'inégalité

et soit m une quantité positive ; je dis par exemple que

am < bm (2)

est équivalente à (4). En effet, par définition la différence c entre a et b est négative ; multiplions les deux membres de régalité

a ^b = c par la quantité positive m ; nous obtenons

am — bm = cm, et le second membre cm de cette nouvelle égalité est négatif puisqu'il est composé de deux facteurs dont l'un, c, est négatif et l'autre, w, est positif. 11 en résulte que si l'on a

a — b < G, on a aussi am — bm < 0, et réciproquement.

Le cas de la division se démontre de même.

107. Remarque. — On prouverait de même que si la quantité m est négative, l'inégalité change de sens; en l'autres termes, si l'on a m < 0, l'inégalité a < b est jqulvalente à am > ftw ; pareillement, l'inégalité a > 5 st, dans les mêmes conditions, équivalente à aw < bm.

106. Résolution des inégalités du premier degré à une inconnue. — Les deux membres d'une Inégalité peuvent être numériques ou littéraux ; dans ce dernier cas, on peut se proposer de chercher entre quelles limites il faut choisir l'une des lettres qui entrent dans Tinégalité pour que celle-ci puisse avoir lieu. Chercher ces limites, c'est résoudre rinégalité par rapport à la lettre considérée ; cette lettre s'appelle Vinconnue^ et Ton dit que l'inégalité est à une inconnue quand elle ne renferme qu'une lettre à déterminer.

Pour résoudre une inégalité à une inconnue, on commence par chasser les dénominateurs en appliquant le théorème U ; puis on groupe tous les termes dans un seul membre, comme pour les équations, en appliquant le théorème 1. Cela fait, si X est la lettre inconnue, et si l'inégalité peut être ramenée à l'une des formes

oj? H- 6 > ou aa? -h ft < 0,

on dit qu'elle est du premier degré à une inconnue. Pour achever la résolution de l'une d'elles, de aa? + 6 > par exemple, on l'écrit

Sous celte forme, le premier membre est un produit de deuî facteurs, dont l'un, a, a un signe connu. Supposons-le positif, pour fixer les idées; alors, pour que le produit soit positif, il faut que le second facteur soit lui-même positif, c'est-à-dire

que l'on ait x-^ > 0, ce qui équivaut à a? >►

Ainsi, pour satisfaire à l'inégalité ao? -f- 6 > dans le cas

où l'on a a > 0, il suffit de prendre x supérieur à

Si l'on avait a < 0, il suffirait de prendre x inférieur

109. Remarque. — Une inégahté du premier degré à u« inconnue peut, d'après cela, être vérifiée par une infinité à valeurs de l'inconnue ; tandis qu'une équation du premie degré à une inconnue n'a jamais plus d'une solution.