Cas général. — Résolution de Véquation

ax^ -hbx-h c = 0.

Nous supposerons, bien entendu, a 92^ 0, car si a était nul l'équation ne serait pas du second degré. Nous pouvons aussi supposer a > 0, car si a était plus petit que zéro, il n'y aurait qu'à changer les signes de tous les termes de l'équation.

Cela posé, observons que le problème à résoudre consiste à trouver, s'ils existent, tous les nombres positifs ou négatifs

en une

qui annulent Texpression ax^ -\- bx -h c. A cet eifet, il y a avantage à transformer cette expression en une autre équivalente, et on y arrive de la manière suivante : On met d'abord a en facteur, ce qui transforme l'expression

autre, alx^-\ — x-h — \; on observe ensuite que \ a aj

dans la parenthèse, les deux premiers termes sont les deux

premiers termes du carré de ar -h — , et comme la paren-

thèse ne change pas si l'on ajoute et si Ton retranche — »

on voit que l'expression peut s'écrire successivement

Trois cas peuvent alors se présenter suivant le signe et la valeur du binôme Aac — fe* ou, ce qui revient au même, et pour nous conformer à ce que l'on fait habituellement, suivant le signe et la valeur du binôme b' — Aac.

Premier cas. 6* -- 4cw < 0. — Alors Aac —b^ et Aac — b^

— — — sont positifs; l'expression oa?* -hbx-hc est équivalente au produit par a d'une somme composée d'un carré,

{x-\- — I , et d'un nombre positif, — , qui ne

contient pas x et qui n'est pas nul. Par conséquent, puisque a ^ 0, il n'existe aucun nombre soit positif soit négatif qui, mis h la place de x, annule l'expression, et l'équation proposée n'a pas de solution.

L'exemple III traité plus haut rentre dans ce cas.

Deuxième cas. 6* — 4ac = 0. — L'expression ax^ -hbœ-^c est alors équivalente à alx-h — \ ; comme a^ 0, cette

expression ne peut être nulle que si l'on a or -h — = 0,

ÉQUATIONS Dt3 SECOND DEGRÉ 67

c'est à-dire x = — t-- Dans ce cas le problème admet une 2a b solution unique, ^ = "" n^*

L'exemple II traité plus haut rentre dans ce cas. Troisième cas. b^ - Aac>0. — Alors l'expression ax^ + bx-hc peut s'écrire

r/ by b^'-iacl

or, si l'on désigne par le symbole ^b* — iac la racine carrée arithmétique du nombre positif 6* — 4ac, on a

b^ — kac __ / ^b^ — iac V

W "~ \ 2a / et par suite

Mais sous cette forme la quantité entre crochets est une différence de deux carrés et on peut la remplacer (69) par le

produit

/ b Jh^ - kac\ I b yjb^ — kac\