V-^Ta-^—2^)V^Ta

de sorte que l'expression aar* -\-bx -\-c est équivalente au produit de trois facteurs

/ b v^6» — Kac\ I b y/b^ — kac\

Or, pour que ce produit soit nul, il faut et il suffit que l'un des trois facteurs soit nul ; le premier, a, n'est pas nul par hypothèse ; donc il faut et il suffit que l'un des deux autres soit nul. Donc les valeurs de x qui satisfont «à l'équation ctx* -h 6ic -4- c = sont les mômes que les valeurs de x

b Jb- — kac pour lesquelles on a, soit ar -h -- H = 0, soit

b ^b^ — 4ac « « . ^ j / 1./ ^

or -f- r: — = 0. Mais chacune de ces éarahlés est

une équation du premier degré h une inconnue et qui admet

une solution unique,

pour la première, et

— 6-1- \/b* — iac

pour la deuxième. L'équation proposée admet donc éAUx,

racines et deiix seulement, données par la formule unique

— & ± v^6« — 4ac X = ii

122. Remarque I. — Lorsque b^ — Aac < 0, on dit, pour des raisons que nous n'avons pas à donner ici, que l'équation a deux racines imaginaires ; par opposition, on dit que l'équation a deux racines réelles lorsque &*— 4ac > 0.

Dans ce dernier cas on ajoute que les racines sont distinctes, parce que si on les appelle x' et x" et si Ton pose

— b — Jb* — 4ac „ —6-4- ^b* — kac

leur différence x" — x' est égale à et n'est pas

nulle.

Enfin lorsque 6* — 4ac = 0, on dit que les deux racines sont égales ou que l'équation a deux racines égales, parce que si 6* — 4ac tend vers zéro par des valeurs positives, la différence des deux racines tend aussi vers zéro.

123. Remarque II. — La formule de résolution se simplifie lorsque b est pair ; si l'on pose en effet b = 2b', elle devient

— 6'± >/b'* — ac X =

Elle se simplifie également quand Téquation est «lise sous la forme

ar' -h pa? H- g = .

Dans ce cas elle devient

124. Remarque III. — Lorsque a et c sont de signes contraires, les racines sont toujours réelles et distinctes, car dans ce cas on a nécessairement b^ — 4ac > 0.

125. Cas où l'équation est incomplète. — La réso* lution de l'équation se simplifie quand Téquation est incom-

plète. Si par exemple on a c = 0, Téquation s'écrit j;{ax + 6) = 0, et, pour que le produit x{ax -h b) soit nul,

il faut et jl suffit que Ton ait soit a? = 0, soit x= ;

les deux racines sont donc zéro et

Si b tout seul est nul, Téquation s'écrit ax^ h- c = et se met sous la forme o?^ = A, A désignant un nombre positif ou négatif. Le problème de la résolution de Téquation est alors identique à celui de la recherche de la racine carrée algébrique de A ; si donc A > 0, on a deux solutions, ± ^X, et pas de solution si A < 0.

126. Exemples. — 1" Soit à résoudre Téqualion 3aî« — 5a? H- 7 = 0.

Dans cette équation on a

&«— 4ac=25— 12x7 = 25 —84.

Cette différence étant négative, Téquation a ses racines imaginaires, c'est-à-dire n'a pas de racines.

2a? — 4 2° Prenons l'équation = a? — 3. Si Ton chasse

le dénominateur et si Ton fait passer tous les termes dans le second membre, on obtient, après réductions, l'équation = a;* — 5.T -h 4 ou, en renversant les deux membres, a?«— 5a? -+-4= 0. On a ici &« — 4ac = 25 — 16 = 9; et comme ce résultat est positif, l'équation a deux racines, données par la formule

[^e qui donne, en séparant^