X -hx

t de même, si Ton multiplie membre à membre, on obtient, après réduction,

Ces deux formules constituent ce qu'on appelle les relations entre les coefficients et les racines. Elles sont très importantes et s'énoncent ainsi :

La somme des racines est égale au coefficient de x changé de signe divisé par le coefficient de x*;

Le produit des racines est égal au terme connu divisé par le coefficient de a?*.

D'après cela, dans l'équation

a?» — 3ar — i = 0, dont les racines sont réelles, le produit des racines est — 1 et la somme est 3 ; de même dans l'équation

3a?* -f 4a: H- 1 = 0, dont les racines sont aussi réelles, le produit de ces racines est

- et la somme est — —i et ainsi de suite.

128. Signes des racines d'une équation du second degré. — Supposons qu'une équation du second degré ax* -^ bx -h c =z ait ses racines réelles et distinctes et cherchons les signes de ces racines sans résoudre l'équation.

Pour cela, examinons d'abord le signe du produit ~ ; si ce

produit est négatif, les racines sont de signes contraires et le

problème est résolu. Supposons donc — > ; dans ce cas,

les racines sont toutes deux positives, ou toutes deux néga-

tives. Si elles sont toutes deux positives, la somme

est positive ; si elles sont toutes deux négatives, la somme

est négative. Mais alors les réciproques sont vraies ;

par conséquent :

a positives ;

> ainsi que » les deux racines sont

> et < 0, les deux racines sont

20 Si — a

négatives.

Avant d'appliquer ces caractères, il faut bien entendu s'assurer que Téquation a ses racines réelles ; le problème n'a pas de sens quand les racines sont imaginaires.

Par exemple, si Ton considère l'équation 2a;^ — 3j: — 7 = 0, on voit : i" que ses racines sont réelles parce que les termes extrêmes sont de signes contraires (124) ; 2° que le produit

des racines est négatif puisqu'il est égal à â; ^^^^

l'équation a une racine positive et une racine négative. Si Ton considère maintenant l'équation 3j?' — 6a; H- 2 = 0,

dont les racines sont réelles parce que &'* — ac = 9 — 6,

le produit des racines de cette équation étant -^ est positif ;

donc les deux racines sont de même signe. Mais la somme -^ = 2 étant elle-même positive, ces deux racines sont positives. Enfin, on voit de la même manière que l'équation 3a?* -h 6j? -f- 2 =

a deux racines négatives^ parce que le produit est positif et

que la somme est négative.

129. Problème. — Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit.

Soient j/ et z les deux nombres, 5 leur somme et p leur produit ; on doit avoir

et les nombres cherchés sont ceux qui vérifient ces deux é<|uations. Or, ce système est équivalent au suivant :

72 ALGEBRE

OU bien au système

La seconde équation de ce système est une équation du second degré ; si elle a ses racines imaginaires, le problème est impossible. Supposons qu'elle ait ses racines réelles et appelons-les y' et y" ; on en déduit les valeurs correspondantes de z :

z" = S'-y", de sorte que le problème a deux solutions,

y' et s — y\

y" et s -y".

Mais en vertu des relations entre les coefficients et les racines de la seconde équation (2), on a y' -h y" =5, par suite s— y' :=y" et s — 1/' = y' ; de sorte que les deux solutions sont constituées toutes les deux par les deux nombres y' et y\ Ainsi le problème n'admet qu'une solution et les deux nombres cherchés sont les racines de l'équation x^—8x-\-p = 0, qui n'est autre que la deuxième équation. (2) dans laquelle y a été remplacé par x. Il est bon di remarquer que le coefficient de x est égal à la somme des deux nombres changée de signe, et le terme connu au produit dt ces deux nombres,

130. Remarque . — Les relations entre les coefAcients et les racines permettent aussi de résoudre la question suivante :

Trouver la relation qui doit exister entre les coefficient d*une équation du second degré pour que les racines soieni liées entre elles par une relation donnée à l'avance. Prenons par exemple l'équation

x^-\-px-^q = 0, et cherchons à quelle condition doivent satisfaire p et 9 pour que l'une des racines soit double de l'autre. Soient x' et / les deux racines ; on doit avoir

x" = 2x\ d'après Vénoncé, et