CA = C'A' = CA

Il en résulte (31) que la bissectrice de Tangle ABA'i' et celle de l'angle AGA; passent par le milieu de la base AA; et sont perpendiculaires en ce point à cette base. Mais par le milieu de AAî on ne peut mener qu'une perpendiculaire à cette droite ; de plus cette perpendiculaire, qui coïncide, d'après ce que nous venons de dire, avec la bissectrice de Tangle ABA'i et avec la bissectrice de Fangle AGAî, doit passer par le point B et par le point C; donc elle coïncide avec la droite BC. U en résulte que les angles ABC et CBAi sont égaux et, par suite, que les deux triangles ABC et CBAî sont eux-mêmes égaux (deuxième cas d'égalité). Mais le triangle CBA; est égal au triangle A'B'C par construction; donc les triangles ABC et A'B'C' sont égaux, ce qui démontre la proposition .

37. Remarque. — Les égalités entre les côtés entraînent les égalités entre les angles, et Ton a

38. Théorème. — Lorsque deux côtés (Vun triangle sont inégaux t les angles opposés à ces deux côtés sont inégaux et le plus grand angle est opposé au plus grand côté.

Supposons que dans un triangle ABC on ait AB > AC;

il s'agit de prouver que Ton a aussi angle C > angle B.

Pour cela , prenons AD = AC ; nous formons ainsi un

^ triangle isocèle ADC, dans

£j. y^ lequel il y a égalité entre les

^^^n/^ \ deux angles ADC et ACD; de

^-^y^^^ \ sorte que, si Ton prolonge CD,

^ ^ angle D'DB = angle ADC

^ = angle ACD.

Joignons le point C au milieu I de DB, et prolongeons cette ligne d'une longueur IC = Cl, puis menons CD. Nous formons ainsi deux triangles IDC, IBC qui sont égaux, en Tertn du deuxième cas d'égalité, car angle DIC = angle BIC (24\ ID = IB, IC = IC. Il suit de là que

angle IDC = angle IBC et, par suite, que l'angle B du triangle ABC n'est qu^une partie de l'angle D'DB, c'est-à-dire une partie de l^ngle ACD;

celui-ci n'étant, à son tour, qu'une partie de l'angle C du triangle ABC, on a bien angle C > angle B (*).

39. Théorème. — Si deiix angles dCun triangle sont inégaux, les côtés opposés sont inégaux et le pltts grand côté est opposé au plus grand angle.

Supposons que dans le triangle ABC (même figure), on ait angle B < angle C.

1° On ne peut avoir AB = AC, car le triangle serait isocèle, et on aurait angle B = angle C, ce qui est contraire à rhypothèse.

20 On ne peut avoir AB < AC, car en Tertu du théorème précédent on aurait angle B > angle C, ce qui est encore contraire à Thypothèse ; donc on a bien AB > AC, ce qui démontre la proposition.

40. Théorème. — Un côté quelconque d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence.

!• Démontrons d'abord que le côté BC du triangle ABC est plus petit que AC-hAB. Pour cela, prolongeons BA d'une longueur AD = AC, de sorte que AB H- AC = AB + AD = BD. Le triangle ADC étant isocèle, on a angle D = angle ACD; il en résulte que Tangle D n'est qu'une partie de l'angle BCD. Donc, dans le triangle BCD, le côté BD est plus grand que le côté BC (39) et, par suite, on a bien BC < AB -h AC. 2'» Démontrons maintenant qu'un côté quelconque BC est supérieur à la différence AB — AC des deux autres côtés. Pour cela, observons que l'on vient de démontrer que l'on a AB < AC -f- BC ; si Ton retranche alors AC des deux membres de cette inégalité (V. Algèbre y 105), il vient AB - AC < BC. '

41. Théorème. — Une portion de ligne droite est plus petite que toute ligne brisée terminée aux mêmes extrémités.

\^*) Le fond de cette démonstration est emprunté au Traité de Géométrie de MM. Bouché et de Gomberousse.

n s'agit de prouver que Ton a

AE < AB + BC-4-CD-f-DE.

Pour cela, menons AC et AD; nous formons ainsi les triangles ABC, ACD, ADE, dans lesquels on a