AB-+-BCH-CD < AE-+-EF-+-FG4-GD

Pour cela, prolongeons AB et BC jusqu*aux points 1 et H, et observons que Ton a (41) :

AB H- Bl < AE -h El, BC -i^ CH < BI + IF -h FG -f GH,

CD < CH -h HD.

En ajoutant membre a membre, et en supprimant les parties communes, on obtient bien rinégalité à établir.

43. Théorème. — Lorsque deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, comprenant des angles inégaux y les troisièmes côtés sont inégaux et le plus grand de ces côtés est celui qui est opposé au plus grand angle.

Supposons que les deux triangles ABC, DEF soient tels que l'on ait

angle A > angle D, AB = DE, AC = DF ; il s'agit de prouver que l'Qn a BC > EF.

Pour cela, transportons le second triangle sur le premier.

de manière à placer D en A, £ en B et F en G du même côté que BC par rapport à AB. Puisque l'angle BAC est plus grand que l'angle D, le côté AG du triangle ABG, nouvelle position de DEF, tombe à Tintérieur de Tangle BAC. Soit AH la bissectrice de l'angle GAG. Les deux triangles G AH et AGH sont égaux, parce que le côté AH est commun, que AG = AG (puisque AG = DF = AG) et que les angles CAH et HAG sont égaux en vertu de ce que AH est bissectrice de l'angle GAG. Les deux triangles sont donc égaux en vertu du deuxième cas, et l'on a HG = HC. Or, BG < BH-hHG(40); donc, puisque HG = HG,

BG < BH -h HG, c'est-à-dire BG < BC.

Comme BG est égal à EF, le théorème est démontré.

44. Théorème* — Lorsque deux triangles ont deux côtés égaux, chacun à chacun, et les troisièmes côtés inégaux, les angles opposés aux côtés inégaux sont inégaux et le plus grand angle est celui qui est opposé au plus grand côté.

Supposons que dans les deux triangles ABC, DEF (même âgure) on ait

AB = DE, AC = DF, BC > EF ; il s'agit de prouver que Ton a angle A > angle D. Pour cela, on observe :

1" Qu'on n'a pas angle A = angle D, car les deux triangles seraient égaux et par suite aussi BC et EF, ce qui est contraire â l'hypothèse;

2" Qu'on n'a pas angle A < angle D, car on aurait (43) ;BC < EF, ce qui est encore contraire à l'hypothèse ; donc on a iDÎen angle A > aiigle D.

p^^P®A<^^<^ulaires et obliques menées d'un jpoint à une droite. — Cas d'égalité des -t^xiangles rectangles.

J^&. Théorème. —Par un point non situé sur une droite j^ f^eut mener une perpendiculaire à cette droite et on n'en ^^i£,t mener qu'une.

Soient AB la droite donnée et C le point donné. Imaginons qu'on replie la figure autour de AB de manière à appliquer la partie supérieure sur la partie inférieure, et soit G' la position du point G quand la figure est ainsi repliée. Nous allons montrer que CG' est perpendiculaire à AB. En effet, les angles ADC et ADC' \enant coïncider l'un avec l'autre quand la figure est repliée, sont égaux ; or ils sont supplémentaires; donc ils sont droits et GD est perpendiculaire h AB.

Soit maintenant CE une autre droite quelconque. On voit comme plus haut que les angles GED et CED sont égaux ; mais comme ils sont adjacents et que les côtés extérieurs ne sont pas en ligne droite, puisqu'il n'y a qu'une droite CC' joignant G et G', ils ne sont pas droits ; donc GE est oblique à AB, et on ne peut mener qu'une perpendiculaire à cette droite par le point G.

46. Théorème. — Si, d'un point pris hors d'une droite, on mène une perpendiculaire et diverses obliques à cette droite : \^ La perpendiculaire est plus courte que toute oblique ; 2° Deu^ obliques qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales ;

3» Deux obliques qui s'écartent inégalement du pied de la perpendiculaire sont inégales, et la plus grande est celte qui 8^ en écarte le plus.

1° La perpendiculaire CD est plus courte que l'oblique CE. i En efi'et, supposons qu'en repliant la figure autour de AB, comme dans le numéro précédent» i le point G vienne en C. Alors CD | et GE venant coïncider respectivement avec *G'D et avec CE, on voit que CD-4-G'D = 2GD etqu« I GE-f-C'E = 2GE. Or on a (40)

GD-hDC'<GE-hCE; |

il en résulte 2CD < 2CE on CD < GE.

2» Les deux obliques CE et €¥ qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales. Car, dire que les deux obliques s'écartent également

du pied de la perpendiculaire, c'est dire que DE = DF ; mais alors les deux triangles CDE et CDF sont égaux comme ayant un imgle égal compris entre deux côtés égaux, chacun à chacun, savoir :

angle CDE = angle CDF ; DE = DF ;

CD commun ; donc CE = CF.

3« Si DG > DE, Toblique CG est plus grande que l'oblique CE. En effet, on a (42)

CE + C'E<CG-hC'G; mais CE = CE et CG = CG ; il en résulte 2CE < 2CG ou CÈ<CG.

47. Remarque I. •— C'est parce que CD est la plus courte des droites qui joignent le point C à un point quelconque de AB qu'on l'appelle la distance du point C à la droite AB.

48. Remarque II. ~ Les réciproques de ces trois propositions sont vraies et se démontrent par l'absurde. Hour donner une idée de ce genre de démonstration, proposons-nous, par exemple, de prouver que si deux obliques sont égales^ elles s'écartent également du pied de la perpendiculaire. Pour cela, observons que si elles ne s'écartaient pas également du pied de la perpendiculaire, elles seraient inégales en vertu de 3o, ce qui est contraire à l'hypothèse.

49. Cas d'égalité des triangles rectangles. — On peut reconnaître l'égalité de deux triangles rectangles par l'application des règles données pour les triangles quelconques (33, 35 et 36), et que nous avons appelées les cas d'égalité des triangles ; mais il y a, pour les triangles rectangles, deux autres cas d'égalité, tenant à la nature de ces triangles, et ce sont ces deux cas d'égalité que nous allons démontrer.

50. Théorème (Premier cas d'égahté). — Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal.

Soient ABC et DEF deux triangles rectangles tels que les hypoténuses BC et EF soient égales, et tels que angle C = angle F. Transportons le second triangle sur le premier

de manière à placer E en B, F en C et FD suivant CA ; alors ED se place suivant la perpendiculaire menée du point B sur AC, c'est-à-dire suivant

BA ; par suite le point D' i^ient coïncider arec le point A, et les triaDgles sont égaux.

51. Théorème (Deuxième cas d'égalité). — Deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont l'hypoténuse égale et un côté de V angle droit égal.

Supposons en effet que, dans les mêmes triangles, on ait maintenant BC = EF, AC = BF, et transportons encore le second triangle sur le premier de manière à faire coïncider DF avec son égal AC et Tangle droit FDE avec son égal CAB; alors le point E vient coïncider avec le point B, car les deux obliques FE et GB étant égales s'écartent également du pied A de la perpendiculaire CA; donc les deux triangles coïncident et sont égaux.

Lieux géométriques.

52. Définition. — On appelle lieu géométrique ou tout simplement lieu correspondant à une propriété donnée, une figure dont tous les points possèdent cette propriété à l'exclusion de tous les autres. D'après cela, pour prouver qu'une figure est le lieu géométrique correspondant à une propriété donnée, il faut prouver :

10 Que tous les points du lieu sont des points de la figure; 2° Que tous les points de la figure sont des points du lieu.

53. Ttiéorème. — Le lieu géométrique des points équidistants de deux points donnés est la perpendiculaire au milieu de la droite qui joint ces deux points,

10 Soient A et B les deux points donnés et M un point du

lieu. Par hypothèse MA étant égale à MB, le triangle MAB est isocèle et la droite qui joint le point M au milieu C de AB est perpendiiculaire à AB en ce point ; donc tout point du lieu se trouve sur la droite CD perpendiculaire à AB en son milieu.

2o Supposons maintenant que M soit un point quelconque de CD. Les deux droites MA et MB s'écartant également

du pied de là perpendiculaire sont égales ; par suite le point M

est un point du lieu.

Donc tout point du lieu se trouve sur CD et tout point

de CD est un point du lieu ; donc la droite indéûnie CD est

le lieu demandé.

54. Théorème. — Le lieu géométri^fue âes points équidistants des deux côtés d*un angle est la bissectrice de cet angle.

i° Soient BAC Fangle donné, M un point du lieu, MP, MQ les perpendiculaires menées de ce point sur les côtés de Tangle. Si Ton joint le point M au point A, on obtient deux triangles rectangles égaux, parce que rhypoténuse MA est commune et que MP = MQ par hypothèse ; il en résulte que les angles MAP et MAQ sont égaux et, par conséquent, que tout point du lieu est sur la bissectrice de Fangle.

2° Soient maintenant M un point quelconque de la bissectrice, MP et MQ les perpendiculaires menées de ce point sur les côtés de Tangle. Les deux triangles rectangles MAP et MAQ sont égaux parce qu'ils ont l'hypoténuse commune et les angles aigus MAP, MAQ égaux ; donc MP = MQ et tout point de la bissectrice est un point du lieu, ce qui démontre le théorème.

55. Remarque. — Le lieu des points équidistants des deux côtés de Fangle BAC, supplémentaire de l'angle BAC, est la bissectrice AË de Tangle BAC. La somme des angles BAC et BAC étant égale à 2 droits, la somme de leurs moitiés est égale à 1 droit ; ce qui signifie que les bissectrices de deux angles adjacents et supplémentaires sont perpendiculaires. II en résulte que la bissectrice de Vangle B'AC est le prolongement de AD et que la bissectrice de l'angle B'AC est le prolongement de AE.

En rapprochant ces résultats du théorème précédent on peut en conclure que le lieu des points équidistants de deux droites indéfinies BB' et CC est le système des deux bissectrices des quatre angles formés par ces deux droites.

Droites parallèles.

56. Défini Cion. — On dit que deux droites sont parallèles quand elles sont situées dans le même plan et qu'elles ne se rencontrent jamais, c^ quelque distance qu'on les prolonge.

57. Théorème. — Deux perpendiculaires à la inême droite sont parallèles.

Car si elles se rencontraient, on pourrait, par leur point de rencontre, mener deux perpendiculaires à la même droite, ce qui est impossible (45).

58. Théorème. — Par un point non situé sur une droite on peut mener une parallèle à cette droite. •

Soit, en elfet, C un point non situé sur la droite AB. Par le point C menons CD perpendiculaire à AB et CE perpendiculaire à CD.

Les deux droites AB et CE étant per-

E pendiculaires à CD sont parallèles (57) ;

donc on peut mener, par le point C, une parallèle à AB.

^ ^ «59. Postulatnm d'Euclide. — On

admet que par un point non situé sur une droite on ne peut mener qu'une parallèle à cette droite. C'est en cela que consiste le postulatum d'Euclide.

60. Théorème. — Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à Vautre.

Soient AB, FE (même figure) deux droites parallèles et CD une perpendiculaire à AB. Remarquons d'abord que CD n'est pas parallèle à EF, car si elle lui était parallèle on pourrait, du point D, mener deux parallèles DB et DC à EF. H en résulte que CD rencontre EF. Supposons alors que C soit le point de rencontre, et que CD ne soit pas perpendiculaire à EF ; on pourra, par le point C, mener la perpendiculaire à CD. Cette perpendiculaire sera parallèle à AB (57). On pourrait donc, du point C, mener deux parallèles à AB, ce qui est impossible ; donc CD est bien perpendiculaire à EF.

61. Théorème. — Lorsque deux droites sont parallèles à une troisième, elles sont parallèles entre elles.

Car si elles se rencontraient, on pourrait, par leur point de rencontre, mener deux parallèles à la troisième droite, ce qui est impossible (59).

62. Définitions. — Etant données deux sécantes AB, CD coupées par une transversale G H, on appelle :

Angles alternes-internes, deux angles non adjacents, situés départ et d'autre de la transversale et entre les deux droites;

âi

Angles alterneU'extemeSj deux angles non adjacents, situés de part et d'autre de la transversale et non situés entre les deux droites ;

Angles correspondants, deux angles situés du même côté de la transversale, Tun entre les deux droites et l'autre extérieur à ces droites ;

Angles intérieurs, deux angles situés du même côté de la transversale entre les deux droites ;

.\ngles extérieurs, deux angles situés du même côté de la transversale et à l'extérieur des deux droites. Les angles 1 et 7 sont alternes-internes, ainsi que les angles 4 et 6 ; les angles 3 et 5 sont alternes-externes ainsi que les angles 2 et 8 ; les angles 3 et 7 sont correspondants ainsi que 4 et 8, 2 et 6, 1 et 5 ; les angles 4 et 7 sont intérieurs, ainsi que 1 et 6 ; enfin, les angles 2 et 5 sont extérieurs, ainsi que 3 et 8.

63. Théorème. — Si deux angles alternes-internes sont égaux, les angles alternes-internes sont égaux deux à deux ainsi que les angles alternes-externes et les angles correspondants ; deux angles intérieurs sont supplémentaires ainsi que deux angles extérieurs.

Par exemple, si Ton suppose les angles 1 et 7 de la figure précédente égaux, les angles 4 et 6 sont égaux comme ayant des suppléments égaux, de même les angles 3 et 5, etc.

64. Remarque. — Les réciproques de ces propositions sont vraies et se démontrent d'une manière analoglie.

Gb.Théorème— Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une transversale, deux angles alternes-internes sont égaux. Soient AB, CD deux parallèles coupées par la transversale GH. Pour prouver que les angles 1 et 2 sont égaux, on mène par le milieu K de EF la perpendiculaire ML aux deux parallèles (60). On obtient ainsi deux triangles rectangles KMF, KEL qui sont égaux parce que KF = KE et que les angles FKM, EKL sont égaux. De là résulte évidemment l'égalité des angles 1 et 2.

MANUEL DG RHET.

66. Théorème. — Si les angles alternes-internes sont égaux, les deux droites AB et CD sont parallèles.

Je suppose, en efiet, qu'elles ne soient pas parallèles, et, par le point E, je mène la parallèle à CD. Cette parallèle, en vertu du théorème précédent, forme avec AB un angle aigu égal à l'angle 1 et par suite égal à l'angle 2 ; donc elle coïncide avec AB ; donc AB et CD sont parallèles.

67. Remarques. — !<> Les deux théorèmes précédents restent vrais quand, dans l'énoncé, on remplace les angles alternes-internes, soit par les angles alternes-externes, soit par les angles correspondants.

Deux angles intérieurs ou extérieurs sont alors supplémentaires, et réciproquement, si deux angles intérieurs ou extérieurs sont supplémentaires, les deux droites sont parallèles.

2° Lorsque deux angles ont leurs côtés parallèles deux à deux y ils sont égau^x ou supplémentaires.

Somme des angles d'un triangle ou d'un polygone convexe.

68. Théorème. — La somme des angles d'un triangle est égale à 2 droits.

Soit le triangle ABC. Prolongeons BC et menons CE parallèle à AB. Nous formons ainsi, autour du point C, trois angles, ACB, ACE, ECD, dont la somme vaut 2 droits et qui sont respectivement égaux aux angles C.

A et B du triangle ABC. C'est évident pour l'angle ACB et, quant aux deux autres, ils sont égaux respectivement aux angles A et B, le premier comme alterne-interne, le deuxième comme correspondant.

Il suit évidemment de Là que la somme A-i- B-h C des angles du triangle ABC vaut 2 droits.

69. Corollaires. — 1° Un triangle ne peut avoir pins d'un angle obtus ;

2o Lorsque deux triangles ont deux angles égaux., chacuvi à chacun, les troisièmes angles sont égaux ; \

3° Dans un triangle rectangle les angles aigus sont corn- i plémentaires ; J

40 Dans un triangle équilatéral chacun des angles vaut -r de droit.

' 70. Remarque. — On appelle angle extérieur d'un triangle, Tangle formé par un côté et le prolongement d'un autre côté. I/angle ACD de la figure précédente est extérieur au triangle ABC.

Un angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des angles intérieurs non adjacents. En effet, nous avons vu que Tangle ACD est la somme des angles A et B.

71. Théorème. — La somme des angles d'un polygone convexe est égale à autant de fois 2 droits qu'il y a de côtés moins 2.

En effet, si Ton mène toutes les diagonales issues d'un même sommet du polygone, on décompose ce polygone en autant de triangles, moins deux, qu'il a de côtés. La somme des angles du polygone est évidemment égale à la somme des angles de tous ces triangles, et comme la somme des angles de chaque triangle est égale à 2 droits, la somme des angles du polygone est égale à autant de fois 2 droits qu'il y a de triangles, c'est-à-dire à autant de fois 2 droits qu'il y a de côtés moins 2 dans le polygone.

72. Remarque. — D'après cela, si n est le nombre des côtés du polygone, la somme des angles est égale à 2 (n — 2) = (2n — 4) droits.

73. Corollaire. — La somme des angles extérieurs d'un polygone convexe est égale à 4 droits.

En effet, chaque angle extérieur est le supplément d'un angle intérieur, ce qui veut dire que si l'on ajoute un angle du polygone à l'angle extérieur correspondant, on obtient 2 droits. Le nombre des angles du polygone étant n, s'il y a n côtés, la somme des angles, tant intérieurs qu'extérieurs, sera égale à 2n droits. Si, de cette somme, on retranche la somme des angles intérieurs, c'est-à-dire (2» — 4) droits, on obtient la somme des angles extérieurs. Cette dernière somme vaut donc 2» — (2n — 4) = 4 droits.

Ajoutons que pour former les angles extérieurs on prolonge tous les côtés dans le même sens.

Parallélogrammes .

74. Définitions. — On appelle paraJ/éio^iramm^ un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

On distingue plusieurs sortes de parallélogrammes :

Le rectangle est un parallélogramme dont les angles sont droits ;

Le carré est un rectangle dont les côtés sont égaux ;

Le losange est un parallélogramme dont les côtés sont égaux. En particulier un carré est un losange, mais un losange n'est pas en général un carré.