Tiiéorème. —Les côtés opposés (Vnn parallélogramme

sont égaux.

Considérons, en effet, un parallélologramme ABCD et menons la diagonale BD ; nous formons ainsi deux triangles ABD, BGD qui ont :

le côté BD commun ; les cingles ADB et DBG égaux comme alternes-internes ; les angles ABD et BDC égaux pour la même raison. Ces triangles sont donc égaux (33), et il en est de même des côtés opposés aux angles égaux ; donc AB = DC et AD=BC. C.Q.F.D.

76. Corollaire. — Des parallèles comprises entre parallèles sont égales. En particulier, toutes les perpendiculaires à deux droites parallèles sont égales, ce qui s'exprime en disant que deux droites parallèles sont partout équidistantes .

77. Théorème (Réciproque du précédent), ~ Un quadrilatère dont deux côtés opposés sont égaux et parallèles^ ou dont les côtés opposés sont égaux deux à deux, est un parailélogramme.

Soit un quadrilatère ABCD (même ûgure).

i" Supposons AD égal et parallèle à BC ; il s'agit de prou Ter que le quadrilatère est un parallélogramme, c'est-à-dire que AB est parallèle à DC, puisque déjà AD est parallèle à BC

que 1

Pour cela, observons que si l'on mène la diagonale BD, les deux triangles ADB et BDC ont :

le côté BD commun ;

les côtés AD et BC égaux par hypothèse ;

les angles ADB et DBC égaux comme alternes-internes, à cause du parallélisme de AD et de BG.

11 en résulte que les deux triangles sont égaux et, par suite, que angle BDC = angle DBA. Or, ces angles sont alternesinternes par rapport aux deux droites AB et CD coupées par la transversale BD ; comme ils sont égaux, AB et CD sont parallèles (66).

2* Supposons maintenant que AD=: BC et que AB = CD. Pour prouver que la figure est un parallélogramme il faut prouver, en vertu de la définition, que AB et CD sont parallèles, ainsi que AD et BC. Mais, pour cela, il suffit de remarquer que les deux triangles ABD, BDC sont égaux comme ayant les trois côtés égaux, chacun à chacun; dès lors, les angles opposés aux côtés égaux étant égaux, on achève la démonstration comme plus haut.

78. Corollaire. — Un quadrilatère dont les côtés sont égaux est un losange.