Théorème. — Dans un parallélogramme les angles

opposés sont égaux.

Par exemple, dans le parallélogramme ABCD les angles A et C sont égaux. En effet, le premier est égal à l'angle CBE comme corres-

yy , pondant, le deuxième est égal à

/^ B B^' l'angle CBE comme alternes-in-

ternes.

80. Théorème. — Réciproquement, si les angles opposés d'un quadrilatère sont égauxy le quadrilatère est un parallélogramme.

Supposons, en effet, angle A =angle C, angle B = angle D (même figure), et observons que la somme des angles d'un quadrilatère étant égale à 4 droits (71), la moitié de cette somme sera égale à 2 droits. On aura donc A -h B=2 droits ; et comme les angles A et B sont intérieurs, les deux droites AD et BC sont parallèles (67). On voit de même que AB et CD sont parallèles ; donc la figure est bien un parallélo- .gramme.

81. Théorème. — Les diagonales d*un parallélogramme se coupent en leurs milieux.

11 s'agit de prouver que le point de rencontre, 0, des diagonales AC, BD du parallélogramme ABCD est le milieu de chacune des diagonales.

Pour cela, on observe que les deux triangles AOD, BOC ont les angles ADO et OBC égaux comme alternes internes ; les angles DAO et BCO égaux pour la même raison ; et enfin les côtés AD et BC égaux comme côtés opposés d'un parallélogramme, 11 en résulte que ces deux triangles sont égaux et que OA = OC, OB=OD.

82. Théorème. -— Réciproquement, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leurs milieux, le quadrilatère est un parallélogramme.

Supposons, en effet, que dans le quadrilatère ABCD (même figure), on ait AO = OC . et BO = OD. Les deux triangles AOD, BOC sont évidemment égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, chacun à chacun ; il en résulte que les angles alternes-internes BCO et OAD sont égaux et, par suite, que BC et AD sont parallèles. On verrait d'une manière analogue que AB et CD sont parallèles ; donc la figure est un parallélogramme, par définition.

83. Théorème. — Les diagonales d'un rectangle sont égales, et, réciproquement, si les diagonales d'un parallélogramme sont égales, ce parallélogramme est un rectangle.

Soient AC et BD les diagonales d'un rectangle ABCD ; il s'agit de prouver qu'elles sont égales. Il suffit d'observer, pour cela, que les deux triangles rectangles ABC, BAD sont égaux comme ayant les côtés de Tangle droit égaux, chacun à chacun ; il en résulte alors AC = BD.

Pour la réciproque, on observe que les deux triangles ABD et ABC sont égaux comme ayant les trois côtés égaux, chacun à chacun. On conclut de là l'égalité des cingles BAD, ABC, et, comme ces angles sont supplémentaires, puisque le quadrilatère est un parallélogramme par hypothèse, ils sont égaux ; donc ils sont droits et le parallélogramme est un rectangle.

84. Théorème. — Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires entre elles, et, réciproquement y si les diagonales d* un parallélogramme sont perpendiculaires entre elles y ce parallélogramme est un losange.

Si on suppose, en effet, que le quadrilatère ABGD soit un losange^ le triangle A6D est isocèle. Dès lors AG passant par le milieu de la base BD est perpendiculaire à cette droite.

Pour la réciproque, il suffit d'observer que AB = AD comme obliques s'écartant également du pied de la perpendiculaire.

S5. Corollaire. — Les diagonales d'un carré sont égales et perpendiculaires entre elles.

En effet, un carré est à la fois un rectangle et un losange.