OA=:OB = OC
donc OA -f- OB = OA -h OC = AC,
et rinégalité précédente peut s'écrire
AB < AC, ce qui démontre le théorème.
89. Théorème. — Une circonférence ne peut pas être rencontrée par une droite en plus de deux points.
Soient le centre de la circonférence et D la droite. Menons du point la perpendiculaire OP sur D et distinguons trois cas.
10 OP est plus grande que le rayon, - Dans ce cas le point P est extérieur à la circonférence et
^ ^ il en est de même de tous les points de la
droite D. Car la perpendiculaire étant plus courte que l'oblique (46), la distance au point d'un point quelconque de D est plus grande que OP et, à plus forte raison, que le rayon; donc la droite n'a aucun point commun avec la circonférence.
2° OP est égale au rayon. — Dans ce cas le point P est sur la circonférence, mais il est le seul point de la droite D jouissant de cette propriété.
En effet, la distance de tout point N de D, autre que P, au point est plus grande que OP; donc tout point N de D, autre que P, est extérieur à la circonférence, et le point P est le seul point de D situé sur la circonférence. 3» OP est plus petite que le rayon. — Dans ce cas le point P est intérieur à la circonférence; par suite la droite D rencontre certainement la circonférence en deux points M et M' situés de part et d'autre du point P. Ces points sont les seuls points de rencontre de la droite D et de la circonférence ; car si un point N est situé entre P et M ou entre P et M', sa distance au centre est plus petite que le rayon OM (86) ; s'il n*est pas situé entre P et M ou entre P et M', s'il est par exemple en S, sa distance au centre est plus grande que le rayon OM (86).
En résumé, la droite D rencontre la circonférence en zéro, 1 ou 2 points suivant que OP est supérieure, égale ou
inférieure au rayon. En tout cas il n'y a jamais plus de deux points de rencontre.
Une droite qui rencontre une circonférence en deux points s'appelle une sécante,
90. Tangente. — On appelle tangente h une circonférence une droite qui n*a qu'un point commun avec cette ligne ; ce point commun s'appelle le point de contactj et l'on dit que la droite est tangente à la circonférence en ce point. En vertu du théorème précédent (2o), une droite rencontre une circonférence en un point seulement quand la distance du centre à la droite est égale au rayon de la circonférence. Ceci prouve l'existence des tangentes à une circonférence et montre que pour obtenir la tangente en un point M, il suffit de mener par ce point la perpendiculaire au rayon OM. Ce résultat s'énonce encore comme il suit :
La tangente en un point est perpendiculaire au rayon qui aboutit en ce point.
On appelle encore tangente en un point M d'une circonférence, la limite des positions successives occupées par une sécante MM' qui tourne autour du point M jusqu'à ce que le point M' vienne coïncider avec le point M. L'avantage de cette deuxième définition tient à ce qu'elle convient à la tangente en un point d'une ligne courbe quelconque. Dans le cas de la circonférence, il est aisé de prouver que les deux définitions sont équivalentes.
En effet, le triangle OMM' étant isocèle à cause de régalité de OM et de OM', la perpendiculaire menée du point G sur MM' passe par le milieu 1 de MM'. Quand le point M' vieol coïncider avec le point M, c'est-à-dire quand la droite devient tangente, 01, qui est restée perpendiculaire à MM', vient coiacider avec OM. Donc la tangente en M, d'après ta deuxiémt définition, est perpendiculaire à l'extrémité du rayon OM, é. les deux définitions sont équivalentes.
Dépendance mutuelle des cordes et des
