Tbéoreme. — Dans un même cercle ou dans des
cercles égaux :
1» Des arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales ;
2» Si deux arcs sont inégaux, les cordes qui les sous-
tendent sont inégales et la plus grande est celle qui soua-
tend le plus grand arc.
i* Soient AB et CD deux arcs égaux appartenant à deux cercles égaux et 0'. Si l'on transporte le cercle 0' sur le cercle de manière à placer le point 0' en 0, les points C et D respectivement en A et B, la corde CD coïncide avec la corde AB ; donc corde AB = corde CD.
2*» Soit maintenant AE un arc plus grand que CD. Si Ton prend l'arc AB égal à l'arc CD, le point B tombe entre A et E, puisque l'arc AB, qui est égal à l'arc CD (1°), est inférieur à l'arc AE ; il en résulte que l'angle AOB est inférieur il Tangle AOE. Dès lors dans les deux triangles AOB, AOE on i AE > AB (43).
Nous laissons de côté, ici, les arcs plus grands qu'une demi-circonférence.
94. Remarque. — Les réciproques s'énoncent ainsi : Dans un même cercle ou dans des cercles égaux :
10 Des cordes égales sou^-tendent des arcs égaux ;
20 Deux cordes inégales sous-tendent deux arcs inégaux et le plus grand est celui qui est sous- tendu par la plus grande corde.
On démontre ces propositions par Tabsurde (48).
95. Théorème. ~ Dans un même cercle ou dans des cercles égaux :
10 Deux cordes égales sont équidistantes du centre; 2» Si deux cordes sont inégales^ la plus grande est la plus rapprochée du centre, 10 Soit corde AB = corde CG. Menons OE, OH respectivement perpendiculaires à ces deux cordes ; il s'agit de prouver que OE = OH. Pour cela, observons que dans les deux triangles rectangles OAE, OCH on a : OC = OA comme rayons; CH = AE comme moitiés de cordes égales; donc, les deux triangles rectangles sont égaux (51), et Ton a bien OE = OH.
20 Soit maintenant corde AB > corde CD. En menant OF perpendiculaire à CD, il s'agit de prouver que OE < OF. Pour cela, prenons Tare CG égal à l'arc AB et menons OH perpendiculaire à CG. On a vu que CG = AB et que OH = OE, de sorte qu'il s'agit de prouver que OH est inférieur à OF. D'autre part, l'arc CG est plus grand que l'arc CD, de sorte que le point et la corde CD sont de part et d'autre de CG ; il en est par suite de même des points et F. Dès lors OF rencontre CG en un point K et Ton a OK < OF. Mais on a aussi OH < OK ; donc, a fortiarL OH est plus petit que OF.
96. Remarque. — Les réciproques se démontrent par l'absurde et s'énoncent ainsi :
Dans un même cercle ou dans des cercles égaux :
10 Deux cordes équidistantes du centre sont égales ;
2o Deu^ cordes inégalement éloignées du centre sont iné-
gales, et la plus grande est celle qui est la plus rapprochée du centre.
Positions relatives de deux cercles.
97. Théorème. — Par trois points non situés en ligne droite on peut faire passer une circonférence et une seule.
Soient A, B, C les trois points. Observons d'abord que sMl existe des circonférences passant par ces trois points, l'une quelconque de ces circonférences sera déterminée par son centre ; car, si l'on connaît son centre, on connaît aussi son rayon, qui est égal à la distance du centre à l'un quelconque des points A, B ou G. Il suit de là qu'il y aura autant de circonférences passant par A^ B et G que l'on pourra trouver de centres.
Or, le centre d'une circonférence passant par les trois points doit être également distant de A et de B ; donc il doit se trouver sur la perpendiculaire au milieu de AB, et l'on voit de même qu'il doit se trouver sur la perpendiculaire au milieu de AC. Ges deux perpendiculaires DF et EG ne sont pas parallèles, car si elles étaient parallèles, AB, qui est perpendiculaire à Tune, serait perpendiculaire h l'autre ; et comme par le point A on ne peut mener qu'une perpendiculaire AG à ËG, AG serait le prolongement de AB et les trois points seraient en ligne droite, résultat contraire à l'hypothèse.
Il suit de là que les droites DF, ËG se coupent, et se coupent en un point unique, 0, qui est le centre cherché. Il y a donc une circonférence et une seule passant par les trois points.
Il n*y a pas lieu de supposer les points en ligne droite, parce qu'une circonférence et une droite ne peuvent avoir plus de deux points communs (89).
98. Corollaire I. — Le point étant également distant des trois points A, B, G, se trouve sur la perpendiculaire menée au milieu de BG. Il en résulte que les perpendiculaires menées aux milieux des côtés d'un triangle se coupent au même point, Ge point s'appelle le centre du cercle circonscrit au triangle. Le cercle circonscrit à un triangle ABG est le cercle qui passe par les points A, B, G.
99. Corollaire II. —Si deux circonférences ont plus de deux points communs, elles coïncident.
100. Définitions. — Lorsque deux circonférences ont deux points communs, on dit qu'elles sont sécantes ou qu'elles se coupent, et Ton appelle corde commune la droite qui joint les deux points d'intersection.
101. Théorème. — Lorsque deux circonférences se coupent t la corde commune est perpendiculaire à la ligne des centres et est partagée par cette ligne en deux parties égaies.
Si, en effet, A et B sont les points communs à deux circonférences et 0', chacun des points et 0' étant également distant de A et de B se trouve sur la perpendiculaire au milieu de AB.
102. Théorème. — Lorsque deux circonférences ont un point commun non situé sur la ligne des centreSy elles en ont un second et, par suite, sont sécantes.
Car si le point A (même figure) est un point commun non situé sur 00', en repliant la figure autour de 00' le point A vient occuper une position B qui doil se trouver à la fois sur la circonférence et sur la circonférence 0'.
103. Corollaire. — Si deux circonférences n'ont qu'un seul point commun, ce point est situé sur la ligne des centres.
Car s'il n'éUiit pas sur la ligne des centres, elles auraient deux points communs, ce qui est contraire à l'hypothèse.
104. Circonférences tangentes. — On dit que deux circonférences sont tangentes quand elles n'ont qu'un seul point commun. En ce point commun, appelé point de contact, les tangentes aux deux circonférences sont perpendiculaires h la ligne des centres et sont confondues ; de là la dénomination de circonférences tangentes.
105. Définitions. (Positions relatives de deux circonférences.) — Deux circonférences peuvent occuper l'une par rapport à l'autre cinq positions ; elles peuvent être extérieures Tune à l'autre, tangentes extérieurement ^ sécantes, tangentes intérieurement et intérieures l'une à l'autre. Ces cinq positions sont appelées les cinq positions relatives des deux circonférences. Nous allons indiquer les caractères qui les distinguent les unes des autres.
106. Théorème. — !<> Si deux circonférences sont extérieures l'une à Vautre y la distance des centres est plus grande que la somme des rayons,
2« Si elles sont tangentes extérieurement y la distance des centres est égale à la somme des rayons.
30 Si elles sont sécantes^ la distance des centres est plus grande que la différence et plus petite que la somme des rayons.
40 Si elles sont tangentes intérieurement, la distance des centres est égale à la différence des rayons.
50 Si elles sont intérieures ^ la distance des centres est p/ws petite que la différence des rayons.
En effet :
1° Si les circonférences et 0' (fig. 1) sont extérieures Tune à l'autre, on a
00' = OA -^ AB -f- BC > OA + O'B.
( a) bQo>) ( o-ÂJy
Fijt. 1 Fig. 2 •
2° Si les deux circonférences sont tangentes extérieurement {fig. 2), on a
30 Si elles sont sécantes, le triangle qui a pour sommets les trois points 0, A, 0' (fig. 3) donne
00' < OA -h O'A et 00'>0A — O'A,
en supposant OA > O'A.
elles sont tangentes intérieurement (fig. 4), on a
