AB
CD, et par suite que ■^^^^^=y
113. Théor l'aine. — Si Von prend pour unité d'angle Vangle au centre qui intercepte sur la circonférence un arc égal à l'unité d'arCj un angle au centre a la même mesure que l'arc compris 'entre ses côtés.
Ce théorème signifie que, dans les conditions indiquées, le nombre qui mesure l'angle au centre considéré est égal au nombre qui mesure l'arc compris entre ses côtés.
Pour le démontrer, considérons un angle au centre AOB, et soit U l'angle au centre que l'on prend pour unité et qui intercepte un arc u égal à l'unité d'arc. On a (112) angle AOB arc AB angle U arc m
Mais, puisque U et w sont respectivement l'angle et l'arc unité, le premier rapport représente (V. Arithm.^ 162) le
MANUEL DE RHCT. 13
nombre qui mesure l'angle et le second le nombre qui mesure l'arc. Comme ces deux nombres sont égaux, le théorème est démontré.
114. Mesure des angles. — D'après cela, pour mesurer un angle on décrit de son sommet comme centre une circonférence de rayon arbitraire, et on prend pour unité d'angle l'angle au centre qui intercepte sur cette circonférence un arc égal à Tare unité d'arc. Avec cette unité d'arc, on mesure l'arc compris entre les côtés de l'angle à mesurer, et le nombre trouvé est la mesure de cet angle avec les unités adoptées .
11 est clair que, pourvu que Ton respecte la correspondance entre les deux unités, on peut choisir arbitrairement l'une d'elles.
Supposons alors que Ton prenne pour unité d'angle l'angle droit, l'unité d'arc sera le quart de la circonférence ou le quadrant.
Supposons maintenant que l'on prenne, comme c'est le cas le plus fréquent, pour unité d'arc la 360e partie de la circonférence : cette unité s'appelle alors le degré. On divise le degré en 60 minutes et la minute en 60 secondes.
Dans ce système d'unités un angle droit vaut 90 degrés, et
l'on écrit 90o ; l'un quelconque des angles d'un triangle équi-
latéral vaut - de 90 ou 60».
115. Théorème. — Un angle inscrit a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés,
La démonstration comprend trois cas :
1° L'un des côtés de l'angle passe par le centre. — Soit
BAC [fig. 1) cet angle. Si l'on mène le
rayon OC, on obtient un angle au centre
BOC extérieur au triangle isocèle AOC ;
cet angle au centre est donc égal à la
somme des angles OCA et GAG ou au
double de l'angle OAC , puisque
OAC = OCA. Il en résulte que le double
d.e l'angle BAC a la même mesure que
l'arc BC; donc l'angle BAC a la même
BC mesure que l'arc -— . Pour abréger, on dit qu'il a pour
mesure la moitié de l*arc BC.
2» Le centre est à Vintérieur de Vangle. — Soit BAC {fig, 2)
^ cet angle. Sil'oa mène le diamètre AOD,
on Toit que BAC = BAD -^ fiXc. Mais
chacun des angles BAD, DAG a pour
mesure la moitié de Tare compris entre
ses côtés ; donc la mesure de Tangle BâC
^ . , , BD DC , , , ,. . BC est égale a — -h -r- » c est-a-dire a -—•
30 Le centre est à V extérieur de Van gle. — En menant encore le diamètre AOD ifig. 3), on voit que l'angle inscrit BAC est la différence des deux angles DAC et DAB. On en conclut que sa mesure est égale à
