Corollaire
circonférence est droit.
Car il a pour mesure la moitié d'une c'est-à-dire un quadrant.
117. Remarque. — Le théorème précédent (115) reste vrai lorsque le côté AC tourne autour du point A, jusqu'à ce que le point C vienne coïncider avec le point A, c'est-à-dire jusqu'à ce que AC vienne coïncider avec la tangente AD au point A. 11 en résulte que ï angle BAD formé par une tangente et par une corde a pour mesure la moitié de Varc BCA compris entre ses côtés.
118. Th6orème. — 1" St «n angle a son sommet à Vintérieur de la circonférence, il a pour mesure la demi-somme des arcs compris entre ses côtés et leurs prolongements.
2» Si un angle a son sommet à V extérieur de la circonférence, il a pour mesure la demi-différence des arcs compris entre ses côtés»
1° L'angle BAC {fig, 1) qui a son sommet à rintérieur de la circonférence, a pour
mesure la demi-somme des arcs BC et DE. En effet, il est égal à la somme des jongles inscrits BDC, ECD, qui ont
BC DE respectivement pour mesure -5- et -r--
2° L'angle BAC {fig. 2) qui a son sommet à l'extérieur de la circonférence, a pour mesure la demi-différence des arcs BC et DE.
En effet, il est égal à la différence des angles BEC, DBE, qui ont respectivement pour
BC DE mesure -^ et — •
119. Définitions. — On appelle segment de cercle la partie d'un cercle comprise entre un arc et la corde qui le sous-tend.
Si AB est la corde d'un segment, on appelle angle inscrit dans ce segment tout angle AMB dont les côtés passent respectivement par A et par B, et dont le sommet M est sur l'arc du segment.
Tous les angles inscrits dans le même segment sont évidemmo:it égaux, parce qu'ils ont des mesures égales (115).
120. Théorème. — Le lieu des sommets des angles de grandeur constante dont les côtés passent par deux points fixes A et B, est un système de deux arcs de cercle égaux, situas départ et d'autre de AB.
Soit, en effet, ACB un angle égal à l'angle donné. Si l'on trace la circonférence circonscrite au triangle ABC, tous les points de l'arc ACB sont des points du lieu (115). De plus, si l'on considère tous les points du plan situés du même côté de AB que le point C, les seuls qui appartiennent au lieu sont les points de l'arc ACB. En effet, si un point M est intérieur au segment ACB, l'angle AMB est plus grand que l'angle ACB (118, 10). De même si un point M' est extérieur au même segment. Tan ' AM'B est plus petit que l'angle A (118, 2°). Par suite aucun point tel c:
M ou tel que M' n'appartient au li 11 en résulte que l'arc ACB est la pai du lieu qui'est située du même côté de AB que le point
Mais il est clair que si Ton replie la figure autour de AB l'arc AC'B ainsi obtenu sera la partie du lieu située du c6té opposé à C par rapport à AB. Donc le lieu se compose des deux arcs égaux ACB et AC'B.
Les deux segments ACB et AC'B s'appellent des segments capables de l'angle ACB décrits sur AB comme corde.
121. Théorème. — • Lorsqu'un quadrilatère convexe est inscrit dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires. Réciproquement, si les angles opposés d'un quadrilatère convexe sont supplémentaires , le quadrilatère peut être inscrit dans un cercle.
\° Si ABCD est un quadrilatère convexe inscrit, l'angle A a pour mesure la moitié de Tare BCD et l'angle C a pour mesure la moitié de l'arc BAD. Donc la somme des angles A et C a
HCD-f-BAD , , , ,.
pour mesure » cest-a-dire
une demi- circonférence ; donc A et C
sont supplémentaires.
2o Béciproquement, supposons (même
figure) que les angles A et C soient supplémentaires, et faisons passer une circonférence par les points A, B, D. Cette circonférence est partagée par les points B et D en deux arcs dont l'un ne renferme pas le point A. Si M est un point de cet arc, Tangle BMD étant supplémentaire de Tangle A (1*), est égal à l'angle C. Mais alors le point C se trouve sur l'arc BMD (120), ce qui démontre le théorème. /
Problèmes élémentaires sur la droite et le cercle.
122. Instruments servant à effectuer les constructions. — On efl'ectue les constructions géométriques au moyen de la règle, du compas, de Véquerre et du rapporteur. La règle sert à tracer des lignes droites. Il importe donc de la vérifier. Pour cela, on la place sur une feuille de papier, puis on trace une ligne AMB au moyen d'un crayon que Ton maintient appliqué contre le bord de la règle. On retourne ensuite la règle autour de
42 GéOMÉTRif:
règle \
AB et Ton trace de môme une autre ligne AM'B. Si la est bien droite, les deux lignes ainsi obtenues le sont égale ment et, comme elles ont deux points communs, elles coïncident. Si elles ne coïncident pas, c'est que la règle n'est pas droite.
Le compas, que tout le monde connaît, sert à tracer des circonférences.
Véquerre^ qui a la forme d'un triangle rectangle, sert à
tracer des droites parallèles. Avant de l'employer à cet
usage, il est bon de vérifier que
l'angle est bien droit. Pour cela, on
appuie un côté AB de l'angle à
vérifier le long d'une règle vériûée.
Soit AC la position de l'autre côté
de cet angle. On retourne ensuite
l'équerre de manière à l'amener
dans la position AB'C. Si l'on a
tracé A G et si l'on trace maintenant
AC, pour que l'équerre soit exacte il faut que AC coïncide
avec AC, et cela est suffisant.
Pour tracer des droites parallèles au moyen de requerra on maintient l'un des côtés appliqué le long d'une règle tout en le faisant glisser et on trace, chaque fois, un trait au moyen d'un crayon appuyé le long de l'autre côté.
Le rapporteur est un instrument qui sert à mesurer les
angles. 11 se compose d'un demi-cercle divisé en de^és et
demi-degrés. Le centre est marqué
sur le diamètre qui le termine.
Pour mesurer un angle, on place le
sommet du rapporteur au centre de
Tangle, et la ligne qui va du centre
au zéro suivant l'un des côtés de
l'angle. Il suffit alors de lire le
numéro du rapporteur qui correspond à l'autre côté de
l'angle.
On peut également se servir du rapporteur pour tracer un angle de grandeur donnée.
