Résolution des problèmes. — Il n'y a pas àe

méthode générale pour résoudre les problèmes de géon ~ trie. Dans certains cas la solution résulte immédiatement théorèmes du cours. Dans d'autres cas elle est d'une na

\UnmM

un peu plus cachée et il y a lieu d'essayer Tune des deux méthodes suivantes :

1» On suppose le problème résolu et l'on cherche à découvrir les relations qui peuvent exister entre les lignes connues et les lignes inconnues. De ces relations, si on parvient à les découvrir, résulte souvent la solution du problème. Cette méthode porte le nom de méthode analytique,

2» 11 peut arriver que la solution d'un problème dépende de la détermination d'un point assujetti à des conditions connues. On fait alors abstraction de toutes les conditions sauf une, de sorte que le point n'est plus déterminé mais décrit un lieu géométrique, plus ou moins facile à trouver suivant le choix de la condition qui a été laissée de côté. En laissant de côté une autre condition, on obtient un autre lieu géométrique, dont l'intersection avec le premier définit le point cherché. Cette méthode porte le nom de méthode des lieux géométriques. L'emploi simultané des deux méthodes conduit souvent à de bons résultats.

Nous allons traiter quelques exemples.

124. Problème I. — Mener la perpendiculaire au milieu d*une droite donnée.

Si AB est la droite donnée, la solution du problème résulte immédiatement de ce que y><C tous les points de la perpendiculaire sont

équidistants de A et de B. Des points A et B comme centres, avec une ouverture E B de compas arbitraire mais plus grande que

la moitié de AB, on décrit donc des arcs de \/p cercle qui se coupent en deux points C

et D : la droite CD est la perpendiculaire cherchée.

125. Problème II. ■— Mener d'un point la perpendiculaire à une droite.

.0 Comme on va le voir, la solution

résulte des propriétés des arcs et des cordes (91). Du point donné C,

\^ y' on décrit un arc de cercle qui ren-

'^ B^"" ^ B contre la droite donnée AB, en deux

points D et E, puis on mène la perpendiculaire au milieu de DE : on a ainsi la droite cherchée.

126. Problème III. — Diviser un angle en deux parties égales.

On peut considérer la solution de ce problème comme une application des propriétés du triangle isocèle. Si AOB est Fangle donné, on décrit du point comme centre un arc de cercle AB de rayon quelconque. Le triangle AOB étant alors isocèle, la perpendiculaire au milieu de AB passe par le point et divise l'angle AOB en deux parties égales, ce qui ramène le problème au problème I.

127. Problème IV. — Construire un angle égal à un angle donné.

On applique ici une propriété des angles au centre (109). Si E est Tangle donné, on décrit un arc de cercle FG ayant

pour centre le point E; Gy^ ^R^ puis,d'un point A comme

centre, on décrit un arc de cercle CMD de même rayon. Du point G comme centre, avec une ouverture de compas égale h la corde FG, on décrit un second arc de cercle coupant le premier au point D ; enfin, on mène les droites A G, AD et Ton a en DAG un angle égal à Tangle K, puisque les arcs FG et CD sont égaux comme sous-tendus par des cordes égales.

128. Problème V. — Par un point pris hors d'une droite mener la parallèle à cette droite.

Nous appliquerons ici la propriété des angles alternesinternes démontrée au n" 65. Soient ^ AB et G la droite et le point donnés.

— Joignons le point G à un point quelconque D de AB, puis faisons Fangle __ DGE égal à l'angle GDA (127). La ■B droite GE sera alors parallèle à la droite AB.

129. Problème VI. -— Mener une tangente à une circonférence par un point donné non situé sur cette ligne.

Soient A et le point et le centre de la circonférencse

donnés. Appliquons simultanément la méthode analytique et la méthode des lieux géométriques.

Supposons donc le problème résolu et soit AB Tune des tangentes demandées, B désignant le point de contact. Tout revient évidemment à déterminer le point B. Or, l'angle ABO étant droit, on voit que le point B sera à l'intersection de la circonférence et de la circonférence décrite sur AB comme diamètre. Quand le point A est extérieur k la circonférence 0, il y a deux points de rencontre B et C, et par suite deux tangentes AB et AC.

130. Problème VII. — Sur tme droite donnée, AB, décrire un segment capable d'un angle donné k.

Nous emploierons encore simultanément les deux méthodes. Supposons donc le problème résolu, et soit AMB l'un des segments cherchés, de centre 0. Il est clair que tout revient à déterminer le point 0. Or, on a un premier lieu géométrique du point en assujettissant simplement le segment à passer par les deux points A et B; car le lieu du point est alors la perpendiculaire menée au milieu de AB. Pour avoir un second lieu géométrique, menons en B la tangente BT au cercle 0. L'angle ABT (c'est ici qu'intervient la méthode analytique) est alors égal à l'angle AMB inscrit dans le segment, c'est-à-dire à l'angle fc; de sorte que BT est une droite connue. Dès lors en menant en B la perpendiculaire BO à BT, cette perpendiculaire passe par 0, en vertu de la propriété de la tangente, et fournit un second lieu géométrique du point 0.

Comme on peut construire l'angle ABT au-dessous ou audessus de AB, on obtient ainsi les deux segments égaux qui répondent à la question.

Lignes proportionnelles.

131. Théorème fondamental. — Sur la droite indéfinie qui joint deux points A et B, il existe toujours deux points, l'un compris entre A et B, Vautre en dehors de AB, tels que le rapport des distances de chacun d'eux aux points A et ^ ait une valeur donnée.

Supposons en effet qu'un point M se déplace sur la droite indéfinie AB dans un sens quelconque. Cela posé :

1° Considérons d'abord le point M quand il est à gauche de A. On a alors