MA MB — AB AB
MB "" MB "" ^ ""MB*
Le rapport étant égal h l'unité diminuée de la fraction —
MB qui est inférieure à Tunité, est lui-même inférieur h 1. D'ailleurs si le point M est en A, on a Af A T> AB AB
^^ ^ ^ ÎSb ^ ÂB "^ * ' ^^^^^^ ^® P^'^^
AR
M s'éloigne vers la gauche ets'éloigneindéflniment, — diminue
MB et tend vers zéro, parce que le numérateur reste fixe et que le dénominateur croit sans cesse ; donc, quand M s'éloigne
indéfiniment à gauche de A, le rapport — - croît de à 1 en
MB passant une fois et une seule par toutes les valeurs comprises entre ces deux nombres.
2« Considérons maintenant le point M quand il est entre A et B, ou plutôt, supposons qu'il se déplace de A vers B. Le
MA ^ ï'î'PPort — d abord nul, quand M est en A, va en croissant
parce que le numérateur croit et que le dénominateur décroît.
, , , Ce rapport croît d'ailleurs indéfini-
A M B ment à mesure que M s'approche
de B, parce que MB tend vers zéro,
et il passe une fois et une seule par toutes les valeurs com-
prises entre et oo . Quand M est au milieu de AB, le rapport est égal à 1.
3» Supposons enfin que le point M s'éloigne indéfiniment
MA
à droite du point B. Le rapport -— est évidemment supérieur
MB
à { , parce que le dénominateur est inférieur au numérateur.
En outre, si l'on observe que
-H »-H — MA Mn-4-AB, AB
^ » ^ MB = -MB--'-^iSB* '''
AB raisonnant comme dans 1" pour le rapport-— , on voit que
MB
si M s'éloigne indéfiniment à droite de B, le rapport — -
MB
décroît sans cesse jusqu'à 1 et prend une fois et ime seule
toutes les valeurs supérieures à 4.
En résumé, si la valeur donnée est inférieure à 1, il y a
MA
deux points M tels que — ait cette valeur. Ils sont tous deux
à gauche du milieu de AB, l'un entre ce milieu et le point A, l'autre à gauche de A. Si la valeur donnée est supérieure à 1, il y a encore deux points répondant h la question. Ils sont tous deux à droite du milieu de AB, Tun entre ce milieu et le point B, Tautre à droite de B. En tous cas il y a deux points et deux seulement.
132. Théorème. — Toute parallèle à l'un des côtés d'un triangle partage les deux autres côtés en segments proportionnels.
Soit, en effet, DE une parallèle au côté BC d'un triangle ABC; il s'agit de prouver que l'on a
