La trajectoire FF' (fg- 5) est égale à ; l’équation

il ,p =z ev

devient

a. — cos P ; ' ’ '

on trouve de même • -• ..

w — v.sin P, . • .

donc ... . » ,

ft 5 -t- ta 1 — v* = constante.

îî est la rotation du plan P sur lui-même autour de son foyer, et w est sa rotation autour de sa caractéristique. - Ainsi la somme des carrés des deux rotations d'ut ï plan est constante. • •

On en conclut sans démonstration que :

Quand deux plans sont à angle droit, la somme des carrés de leurs rotations sur eux-mêmes est constante, et la somme des carrés de leurs rotations autour de leurs caractéristique est aussi constante.

5(5. Que, dans le plan P (fg. 6), on mène une droite quelconque D , qui coupe la caractéristique en O. Menons la normale OiNF et la parallèle OX' à l’axe X. Le triangle sphérique abc est rectangle en h (53), et -il donne

cos ac == cos ab . cos bc.

Or

cos ab — sin NOX' = P.

Appelons co la rotation autour de la caractéristique et (to, D)l’ angle que cette caractéristique fait avec la droite D; l’équation )

a ~ \> sin P (SS) ’ . • '

devient donc . . ■ . .

w. cos ( w, D) = u cos (D , X ).

Le second nombre ne dépend que de la direction de D par rapport à X ; donc ,

Pour chaque plan mené par une méfne droite D , on iC «.-cos (w, D) constante.' ' .

SECTION III

ANALOGIE EQtTRË LES ROTATIONS D US CORPS AUTOUR 1>E DIVERS AXES ET LES SYSTÈMES DE FORCES.

57 . Quand un corps éprouve un déplacetnent injiniment petit, résultant de plusieurs rotations simultanées autour de plusieurs axes, si l’on porte sur ces axes des lignes proportionnelles à ces rotations respectivement , et qu'on considère ces lignes comme autant de forces qui solliciteraient • le corps, l'élément rectiligne décrit par chaque point du corps , en vertu de ce système de rotations simultanées, sera proportionnel au moment principal des forces relatif à ce point. „•

En edet, soient M un point quelconque du corps; D, ly/D", etc., différents axes autour desquels sont imprimées des rotations co, co’, eo w , etc.; et soient entin r, r , r", etc., les distances du point M à ces axes. En vertu de la rotation

'«>, le poitil l\I tend à décrire tin élément rectiligne proportionnel à w. r, dans le plan mené par ce point normalement à l’axe D; et, de même, en vertu des autres rotations, il tend à décrire des éléments rectilignes proportionnels à «'. r', co " .r'\ etc., dans des plans normaux aux axes D', If", etc. Donc l’élément rectiligne qu’il décrit réellement est une résultante de ceux que chacune de ces rotations particulières tend à lui faire parcourir. Or, si l’on regarde chacune de ces rotations comme une force imprimée suivant l’axe qui lui correspond, les produits co. r, co'. ; co". r", etc., représenteront les moments de ces forces par rapport au point M; leurs actions pourront donc être remplacées par celle du moment résultant ou principal de ces forces relatives au point M , et ce point , sollicité par ce seul moment , décrira un élément rectiligne qui lui sera proportionnel.

On peut encore présenter 'la démonstration sous une autre forme, en disant que chacun des produits co . r, co'. r',' etc. , représente la grandeur du couple qui serait produit par la rotation co, co', etc., considérée comme une force , si l’on venait à la transporter au point M, et en ajoutant que l’élément rectiligne décrit parce poiut sous l’ influence de celte rotation isolée, étant proportionnel à ce couple et normal à son plan, peut en représenter l’axe. On a donc au point M autant d’axes de couples qu’il y a de rotations données. Ces couples, ou leurs axes, se composent entre eux à la manière des simples forces, et par cotisé-' quent 1 axe du couple résultant représente en direction et en grandeur (c’est-à-dire dans la même proportion que le font les autres axes) l’élément rectiligne réellémeut décrit par le point M.

Il suit de là que toutes les propriétés relatives aux rotations d'un corps autour de diverses droites, et aux espaces rectilignes décrits par les points du corps, donnent lieu ci autant .de propriétés d'un système de forces , relatives à

ccs forces elles-mêmes et à leurs moments par rapport aux différents points de l'espace et réciproquement.

58. En suivant les conséquences de cette analogie, soit à l’aide du Mémoire de M. Chasles, soit en se reportant aux méthodes employées par M. Poinsot dans la Théorie nouvelle de la rotation des corps (I rc partie, chapitre I er ), on arriverait facilement à voir « qu’il existe uiie parfaite sy- » inétrie entre la composition des rotations et celle des » forces; que ces compositions sont presque identiques, et » que si l’on avait primitivement donné le nom de force » à la cause capable de faire tourner sur un axe, on aurait » eu pour ces nouvelles forces une statique toute sembla- » blc, de telle sorte qu’un même livre, écrit sur la science i) dés forces, pourrait, sans cesser d’ètre exact et de traiter » régulièrement la même science, être entendu de deux » manières différentes, selon qu’on attacherait au mot force » l’idée d’une cause de translation, ou l’idée toute diffii- » rente d’une cause de rotation. » ( Théorie nouvelle rie la rotation des corps , chap. I er , § V I, art. 20.)

C’est assurément là une chose très-remarqtiable au point de vue philosophique; ajoutons que cette analogie parfaite, dont nous verrons plus loin de nouvelles confirmations, n’existe pas seulement dans la doctrine. Car, si le mouvement le plus général d’un corps solide peut être attribué uniquement à de simples forces qui lui sont appliquées , il peut l’être aussi et identiquement à de pures rotations autour de divers axes, puisque le mouvement du corps se réduit toujours en dernière analyse, et quelle que soit l’idée .qu’on se l’ait de la cause première du mouvement, à celui' • d’une vis qui se meut dans son écrou, fait remarquable qui se trouve également démontré par M. Poinsot, dans le bel ouvrage que j’ai déjà cité ( art. 36 du chap. l? r ).

La science des forces offre donc, à son tour, un exemple frappant de cette loi de dualité qui embrasse toute la géo-

métrie, et dont on trouve la démonstration générale et complète dans le Mémoire qui (ail suite à Y st perçu historique.

Au reste, la dualité particulière que nous remarquons ici avail déjà été signalée dans la Note 34 de Y Aperçu historique , par M. Chasles, qui regarde « le dualisme uni- » uersel comme étant la grande loi de la nature, et comme » régnant dans toutes les parties des connaissances de l’es- » prit humain , » et qui , après avoir énoncé quelques-uns des pricipaux théorèmes reproduits dans le présent Mémoire, faisait déjà pressentir « la possibilité de créer de » nouvelles doctrines dans la mécanique rationnelle, en » substituant dans les anciennes théories , pour ce qui re- » garde le mouvement général d’un corps , les mouvements » de rotation aux mouvements rectilignes , et pour ce qui » concerne les corps eux-mcuies , considérés comme partie » de l’étendue, les plans aux points, comme on peut le faire » dans la géométrie pure et dans la géométrie analytique. »

S9. On conclut de ce qui précède que , de même que desforces, en nombre quelconque, peuvent toujours se réduire à deux forces non situées dans un même plan ( Statique de Poinsot, 73), et cela d’une infinité de manières, de même' des rotations autour de divers axes peuvent être remplacées , d’une infinité de manières, par deux rotations autour de deux axes différents.

Et ceci résulte d’ailleurs directement des théorèmes du présent chapitre. Car tant de rotations qu’on voudra donneront au corps, dans le premier instant, un déplacement infiniment petit, qu’on peut toujours considérer comme une rotation autour d’un certain axe X qui glisse dans sa propre direction. Or ce glissement n’est lui-même qu’une rotation infiniment petite autour d’un axe situé à l’infini dans un plan normal à l’axe X. Ainsi le mouvement des corps se réduit toujours à deux rotations simultanées autour de ces deux axes particuliers, qui peuvent, à leur tour,

être remplacés, et d’une infinité de manières, par deux autres axes conjugués D, A. Ainsi

Les différentes propriétés relatives à deux axes conjugués de rotation D, A, s'appliqueront aux systèmes de deux forces pouvant remplacer un autre système quelconque de forces. ‘ .

Aux deux axes particuliers X et oo , dont nous venons de parler, correspondra le 'système particulier de deux forces, dont l’une, située a l’infini dans un plan perpendiculaire à la première, est infiniment petite, et, par suite, est un couple (voir Statique, 26, et Mémoire sur les aires. de Poinsot), dont le plan est perpendiculaire à la première force, laquelle est précisément cet aXe remarquable que M. Poinsot a nommé l'axe central des moments , « parce » qu’il est le seul qui n’ait absolument qu’une même posi- » lion dans l’espace, et que, de plus, tous les axes qui ont » à son égard les positions semblables, donnent les mêmes ,» moments. »

60. Cette analogie donne lieu aux propositions suivantes : i°. La droite qui mesure la plus courte distance des deux forces qui remplacent un système de forces données j rencontre toujours l’axe central des moments et lui est perpendiculaire ;

2 °. L’inclinaison de la seconde force sur l’axe central ne dépend que de la distance de la première à cet axe. Les tangentes des inclinaisons des deux forces sur l’axe sont entre elles comme les distances de ces forces à cet axe-, .

3 U . Deux forces ainsi conjuguées, et deux autres forces d’un système équivalent , sont toujours quatre génératrices d’un même mode de génération d'un hyperboloïde à une 'nappe’; , .

4°. Si les premières forces de plusieurs systèmes équivalents passent par un même point, toutes les secondes sont dans un même plan : celles-ci enveloppent une co-

DE GÉOMÉTRIE PURE. fa

nique , si les premières (supposées toutes égales) forment la surface d’uu cône du second degré; elles enveloppent un rende situé dans un plan perpendiculaire à l'axe rentrai , si les premières décrivent un cône droit ou un cylindre droit autour de cet axe; elles décrivent la surface d’un liyperboloïde de révolution autour de l’axe, si les premières décrivent une surface du même genre : les cercles de gorge de ces deux kypcrboloïdcs sont concentriques et situés dans un même plan, etc.;

5°. Si l'on joint, deux à deux , par des droites, les points • où deux systèmes équivalents de deux forces rencontrent un plan quelconque , ces droites passeront toutes par un même point, et si l’on projette orlhogonalement tous ces systèmes sur un plan quelconque, les projections des forces se couperont deux à deux sur une droite fixe de ce plan;

6°. Si l’on construit un parallélogramme sur les deux forces, ramenées à un même point, la diagonale sera parallèle à Y axe central et égale à la résultante des forces du système: théorème évident par la statique et qui pourrait servir, par conséquent, à démontrer celui des rotations, d’où nous le tirons ici ;

y°. Le tétraèdre construit sur deux forces d’un même système prises pour arêtes opposées a un \ olmne coustaut, quel que soit ce système, pourvu qu’il soit équivalent aux forces données, etc. , etc..

61 . Avant de passer au dernier paragraphe du chapitre, démontrons encore un théorème relatif à la composition des mouvements de rotation, qui se trouve énoncé dans la Note 34 déjà citée de Y Aperçu historique, page 4 >4- Cette démonstration nous présentera un nouvel exemple du principe de dualité, et nous fournira l’occasion d’appliquer quelques-unes des relations métriques que nous avons données dans la deuxième section.

Supposons donc que les rotations d’un corps autour de

divers axes appartiennent à des plant menés par ces axes, de même que l’on regarde les mouvements rectilignes imprimés à un corps, ou les forces qui sollicitent un corps, comme appliquées à l’un des points du corps qui se trouvent sur les directions de ces mouvements ou de ces forces.

Chacun de ces plans, pendant le mouvement réel du corps , aura tourné sur lui-même autour de sa caractérisr tique et autour de son foyer. Appelons ce mouvement autour de la caractéristique la rotation effective ou virtuelle du plan , et nous dirons que la rotation partielle du corps autour de l’axe contenu dans cc plan est la rotation imprimée au plan. La première sera désignée par w, et la seconde par fi. Ainsi la rotation effective d’un plan est le résultat de la combinaison de sa rotation imprimée avec les autres rotations imprimées à d’autres plans du corps.

Ces dénominations, qui sont tirées de la Note déjà citée, étant admises , on parvient au' théorème suivant, que nous allons démontrer :

Théorème. — Quand un corps solide est. soumis à plusieurs rotations simultanées autour de divers axes, si par ces axes on conçoit menés des plans dans le corps , ces plans éprouveront les mouvements effectifs sur eux-mêmes.

Si Von fait le produit de la rotation effective de chaque plan par sa rotation imprimée et par le cosinus de V angle que font entre eux les axes de ces deux rotations, la somme de ces produits sera une quantité constante, quels que soient les plans menés par les axes de rotation.

Cette' quantité sera égale à la somme des carrés des rotations imprimées, plus le double de la somme des produits de ces rotations multipliées deux à deux et par le cosinus de l’angle que comprennent leurs axes. .

Démonstration. — Avant de démontrer le théorème d’uue manière générale, démontrons-lc pour le cas de deux rotations conjuguées fi, fi', qui ont lieu autour des axes D, A,

. DE GÉOMÉTRIE PURE ' fa

et auxquelles Je système entier des rotations imprimées peut toujours être supposé réduit.

On a (56), quels que soient les plans menés par les axes D et A,

«.cos(«, D) = <j.cos(D, X) et &>'.cos(«', A) = u.cos( A, X).

Si , SV étant les rotations imprimées , la somme des produits indiqués par le deuxième alinéa du théorème est

ii.o).cos(w, D) H- 0'.ù'.cos(w', A), /

et l’on voit, par les relations précédentes, que cette somme est égale à

v[n.cos(D, X) -+- n\ cos(A, X)],

quantité constante. Remarquons encore que, d’après les formules des n os 43 , 46 , 47 , on a

fl.cos(D, X) = v . — 5

^ . r\t tang ( D, X ) 4- c

fl'.cos(A, X) = ' J - tang(D, X) = — ;

' ' r« + ecot(D, X) ’ 1 p«T

donc

fl.cosfD, X) -+- fl' cos( A, X) = — — 1 - — = u.

Ainsi la somme des deux produits est égale à v*. Or on a (45)

•J 1 = fl 1 -+- fl' 1 4- 2 fl.fl'. cos( D, A ) ;.

donc le théorème est démontré pour ce cas particulier.

Ou pourrait dire encore que la constante a pour valeur la somme des carrés des deux rotations qui ont lieu, pour chaque plan , l’une autour de sa caractéristique et l’autre autour de son foyer, puisque- celte somme est aussi égale

62. En s’appuyant sur l’analogie qui existeentre les rotations et les systèmes de forces, on peut donner de ce théorème une démonstration plus prompte et qui a l’avantage

5 o ■ MÉLANGES

de s’appliquer, comme nous le verrons bientôt, à l’énoncé général. En ell’et, si fi et fi' sont considérés comme des. forces appliquées dans le sens des axes de rotation D, A, chacun des produits fi cos (D, X) représente la projection de la force sur l’axe central, c’est-à-dire sur la direction même de la résultante; donc la somme de ces produits n’est. autFe chose que la résultante elle-même V. Donc, etc.

Soientmaintenantfijfi', fi", etc., des rotationsén nombre quelconque, imprimées autour des axes D, D', D", etc., et soient w, &/, etc., les rotations effectives de plans menéspar ces axes. On aura, comme précédemment ( 56 ),

m.cos(«, D) = vcos(D, X),

*>'.cos(o/, D') = m cosD', X), etc.

Donc *

O.c.) cos (&>, D) -f- O*. te' co»( te', D*) -f- . te" cos(&> ,

= u[n.cos(.D, X] -+- fi'cos(D', X) + ...] = v 3 ;

car la somme des termes compris dans la parenthèse est, comme plus haut, égale à u.

Regardons ces relations comme des forces , et décoriiposons-les suivant trois axes coordonnés rectangulaires ; elles ' fourniront, respectivement , les composantes : • •

Q cos a, ncosp, Hcosy; a' cosa', n'cosp', n' cos 7' ; - •

£1" cos a", ci" cos p", ft"cos", etc. , et l’on aura , pour l’expression du carré u* de la résultante de ces forces , l’équation

u 3 = (il cosa -+- si' cosa' -t- n* cosa''

(SI COS p -+- Si' COSji' -h Cl" COS P" -+- . . . )*

-+- (il cosy -t- a! co^y' -t- ci" cosy" +

Développant les carrés, et remarquant qu’011 a

- v cos 3 a + cos*ji +cos , 7 = i, '

cos 3 %' -t- cos 3 p' 4- cos 3 7'= 1 , etc..

• " DE GÉOMÉTRIE PORE. ,5t

et . < • ' • '

cosx cosa' ■{- cos p cos (Ü' cesy cos y' = cos (il, il'),

et ainsi pour les autres sommes semblables, on arrive «à l’équation suivante qui démontrela dernière partie du théorème : ' • 1

•j 5 = il’ + a ' 1 -t- a"*-+- . . .

-h afn.n' cos(n, n' ) + a.fi” cos (a, a")

• -i-n'.n"cos(a' n" )+...].

Sur le principe 'des vitesses virtuelles.

63. « L’analogie qui a lieu entre un système de forces » sollicitant un corps solide libre et les rotations qui pro- » duisent un déplacement infiniment petit du corps, con- » duit naturellement à une démonstration du principe des » vitesses virtuelles, qui montre comment la considération » du mouvement et de l’infini (*) dans ce principe corres- « pond à des considérations purement statiques.

» Soient P, P*, etc., les forces qui sollicitent un corps » solide libre et qui se font équilibre. Soient Q, Q', etc., » d’autres forces quelconques. Considérons chaque force P » et chaque force Q comme arêtes opposées d’un tétraèdre ; » et représentons par 2 . tétr. (P, Q) la somme des volumes » de ces tétraèdres. Cette somme conservera la même va- » leur (60, y"), si à chacun des deux systèmes P, P, etc., » çt Q, Q', etc., on substitue un autre système de forces » équivalent; et, pat; conséquent, cette somme sera nulle; » car les forces P, F, etc., peuvent être remplacées paj* - » deux forces égales et directement opposées qui donneront » lieu à deux sommes de tétraèdres égales et de signes con- » traircs. Réciproquement, si la somme des- tétr. (P, Q)

(” ) On sait d'ailleurs que ce principe peut s'énoncer sans qu’il soit qu'estien de cet mouvements infiniment petits qui lui font perilro une partie dç sa clarté. (Voir la Note U du beair Mémoire de M. Poinsot, sur l’equilibre et le mouvement des système i.)

» est nulle, quel que soi tic système des forces Q, Q\ etc.*

» on voit aisément que nécessairement les forces P, P*, etc.,

» se font équilibre. * '

» Ainsi la condition d’équilibre des forces P, P, etc.,

» s'exprime par

ï.tétr. (P, Q) = o,

» Q, Q', etc. , formant un système de forces pris arbitrai- » renient. Soit r la plus courte distance des deux forces P ,» et Q 5 l’équation devient (48, Note)

ï.P.Qrsin(P, Q) = o.

» Supposons que toutes les forces Q, Q', etc., aient été » remplacées par deux seules, dont l’une dirigée suivant » la force P ; et soit Q l’autre force. La somme des téi> traèdres où entre P sera égale simplement à tétr. (P, q), ou » P.qrsin(P, q). » Or qt"s in (P, q) est la projection sur un plan perpendiculaire à la force P, du moment de la force q par rapport à un point de la force P. Si donc on suppose que les foires Q , Q', etc., soient, en direction,, les axes de rotations proportionnelles à ces forces, le. moment relatif à un point de la force P sera égal (57) à l’élément rectiligne que ces rotations feront décrire à ce point. Soit p cet élément rectiligne; la sommé des tétraèdres où entre la forcé P sera donc égale à Vp eos (P, p) , à cause de ' -

Pour chacune des autres forces P / . . . , on aura une somme semblable; de sorte que l’équation d’équilibre deviendra

- • , . , I.V.p cos (P, p) = o.

C’est l'équation des vitesses virtuelles.

Ainsi , dans ce principe des vitesses vitûelles, les éléments rectilignes qu'on appelle les s vitesses virtuelles expriment les moments principaux d’un autre système de

forces pnr rapport aux points ci application tics forces proposées.

64. On peut exprimer d’une manière semblable l’équi libre d’un système de rotations qui solliciteraient un corps.

Car ces rotations ayant, par hypothèse, une résultante nulle, la somme des produits

O. cos ( D, X ) -t- n' cos (D', X) -+- U" cos(D", X) du n° 62 est nulle. Or cette somme est égale à