COS (A, X
■ i et sin (A, X) =
substituant ces valeurs dans l’expression ded% ainsi que celles obtenues ci-dessus pour 41* et on trouve, après quelques réductions ,
8 7 — ft’-f w‘H- 2 il. u. cos (D, A) =V. ' ,/
48. Démontrons enfin que, si sur les deux droites D, A, on porte deux segments proportionnels aux rotations du • corps autour de ces deux droites v le tétraèdre Construit sur ces. deux: segments pris pour arêtes opposées aura un l'oluriie constant.
En effet; fe volume de ce tétraèdre [voir ci -dessous la démonstration de ce théorème) est proportionnel à
D.sin (D, A) ( p -H r).
Or
sin (D, A) = .sin (D, X) cos (i, X) -f- cos (D, X).sin (A, X).
Si l'on remplace dans l’équation ci-dessus sin (D, A) par celte valeur, puis sin (A, X) et ros (A, X) par celles du n° 47, et il, o>, p par celles du n° 46, on arrive à la relation tt.w sin (D, A) (p r) =. eu. c. q. f. d.
Nota. — Quant au théorème de Géométrie en question , voici comment il se démontre :
Soit ( jig . 3) SABC un tétraèdre; achevons le parallélogramme ABCD; les deux tétraèdres SABC, SBCD sont équivalents , et celui-ci a pour mesure SBD . CI , CI étant la perpendiculaire abaissée du point C sur le plan SBD. L’arète AC est parallèle à ce plan, et, par conséquent, tous ses points en sont également distants. Or la plus courte-distance PQ = S' des deux arêtes opposées SB , AC ’çst perpendiculaire à ce plan; donc elle est égale à CI. On a aussi
triangle SBD = -j SB . BD . sin SBD.
Donc le volume du tétraèdre est égal à'
i SB.AC.sin(SB, AC). S',
ou, en employant les mêmes notations que ci-dessus , "volume du tétraèdre = ^ Cl. a. sin ( D , A) ( p + r). c. q. f. o.
49. La quantité w.sin (D, A) (p -|- r) représente évidemment la projection sur D de la trajectoire du point B qui est, sur cette droite, le pied de la plus courte distance de D et A. Appelons cette projection p; l’équation du n° 48 devient ...
il .p ~ \>c.
Nous allons démontrer que, si l’on projette sur D les
trajectoires de ses différents points, toutes les projections sont égales entre elles, et, par suite, sont égales à p. 1. 'équation qui précède s’appliquera donc à tous les points de la droite, et il sera prouvé que la longueur commune de ces projections est en raison inverse de la rotation du corps autour de la droite 1).
Soient [ % ftg- 4) ad, a! d! deux positions consécutives de la droite D; par les points a', //, c' , d'-, etc., qui se trouvaient primitivement en a, b , c, d , etc., menons des plans perpendiculaires à D et qui coupent cette droite aux points • A, li, C, D, etc. Ces plans parallèles passent par une même droite à l’infini; donc ( Géométrie supérieure, n° 17) ils forment un faisceau qui est homographique avec la division formée sur a'd' par les points a', b\ c', d 1 , etc. ; les deux divisions A, B, C, D, etc., cl b', c', d ', etc., sont donc liomographiques ( Géométrie supérieure, n° 18). Mais les deux divisions a, b, c, d, etc., et a ', c', d\ etc., le sont
par construction, puisque les segments correspondants sont égaux; et, par conséquent, les deux divisions a, b , c, d, etc., A , B, C, I), etc., formées sur une même droite sont lipmographiques entre elles [Géométrie supérieure, n° 280). Or elles ont évidemment leurs points doubles à l’infini; donc [Géométrie supérieure, n" 169) le segment compris entre deux points correspondants quelconques est de même grandeur, et l’on a
«A = èB = cC = rfD -= ....
Ces segments sont les projections sur D des trajectoires au ', bb 1 , ce 1 , dfl ', etc. Ainsi le théorème est démontré.
Lu projection commune p exprime la quantité - dont chaque point de la droite D s’est déplacé dans le sens de la direction de' celte droite ,■ de sorte quou peut dire que c’est le mouvement de la droite estimé clans sa propre direction. L’équation
BS*
exprime donc que la rotation du corps autour d'une droite quelconque est en raison inverse du mouvement de cette droite estimé dans sa propre direction.
Cela établit une relation assez remarquable entre la rotation et la translation , ces deux mouvements dont se compose tout déplacement d’un corps.
50. Si, sur différentes droites passant, par un même point, on porte, à partir rie ce point, des segments proportionnels aux rotations du corps autour de ces droites, les extrémités de ces segments seront, sur un plan perpendiculaire h la trajectoire du point.
En efl'et, par le même point menons des parallèles aux conjuguées de ces droilesj elles seront toutes dans un même plan (22). Prenons sur ces parallèles des segments proportionnels aux rotations .du corps autour d’elles et achevons les parallélogrammes. Ils doivent tous avoir la rpême diagonale (47)5 donc toutes les extrémités des premières droites sont dans un même plan, mené, parallèlement à celui des conjuguées, par l’extrémité du segment qui , étant ’ ' issu du point commun, représente la rotation du corps autour de l’axe X.
La tangente à la trajectoire du point est normale à sa conjuguée (25), qui se trouve, ainsique toutes les autres conjuguées, dans le plan en question ; donc ce plan est perpendiculaire À cette trajectoire , ce qui démontre la fiu du théorème. ’ . '
51 . Il s’ensuit (pie la rotation minimum aura lieu autour de la trajectoire même du point.
Soit II cette rotation minimum, et prenons la trajectoire du point pour la droite D. La projection p est ici égale à la trajectoire même. L’équation >
. u ./> = constante
prouve donc que cette rotation,- muhiplice par la trajec-
DF. GÉOMÉTRIE PURE. 3g
foire du point, forme un produit constant, quel' que soit le point.
Supposons qu’un point ait une étendue inliniment petite, que ce soit, par exemple, un petit. globule; il aura une rotation autour de sa trajectoire, en même temps qu'il décrira cet élément rectiligne; il aura.donc deux mouvements, l’un de rotation et -l’autre de translation ; le produit, de' ces deux mouvements est constant pour tous les points du corps. ■
52. Supposons que plusieurs droites D, lf, etc., soient situées dans un même plan. Du foyer F de ce plan, abaissons sür elles des perpendiculaires FO, FP, etc. ; les points O , P, etc., ont autour du foyer, dans lé plan même, un même mouvement de rotation y qui les transporte sur les droites D, IF, etc., auxquelles ils appartiennent, en O', P 7 , etc. ; ' , ils ont, en outre, autour de la caractéristique, un mouve- ‘ment normal aù plan (4). Les projections de leurs "trajectoires sur les droites U, L)', etc., sont donc les segments eux-mêmes Ckf, PP', etc. Or on a, en faisant FO = r, FP = r', etc.,
00' — p — r . lang a , PP 7 = p — r '. tang a ;
' donc l’équation du n" 48
donne
ilp = il'p'
Ainsi ,
Quand plusieurs droites sont situées dans un même ’ plan, les rotations du corps autour de ces droites sont en raison inverse de leurs distances au foyer du plan .
53. Soit ( fig . 5) Un plan P faisant partie du corps en mouvement; il y a à considérer, relativement à ce plan, son foyer, sa caractéristique , sa rotation autour de cette
droite, ét sa rotation sur lui-mêine autour de son foyer. Soient II la distance du foyer à l'axe X ; tt la distance de la caractéristique à cet axe. Désignons par P l’angle que le plan fait avec un plan perpendiculaire à l’axe X, ou, si l’on veut, l’angle que X fait avec la normale au plan.
Le point F se meut suivant la normale au plan (3). Soit FF' sa trajectoire. FF 7 est la résultante d’une transla- • tion FF" = e suivant la parallèle FX' à Taxe X , et d’une rotation F'F"= IIu. perpendiculaire à cet axe; or on à, dans le triangle FF 7 F’" rectangle en F 77 ,
F' F" = FF", tang NFX' , ou nv = e tang P , et , par suite,
Il — - .tang P.
' Soit G le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la caractéristique. La trajectoire GG 7 de ce point est sur la caractéristique même (S); elle së compose d’une translation GG 77 = e suivant la parallèle GX" à laxeX, et d’une rotation G"G' =: ît ’j perpendiculaire à cet axe.
Le triangle rectangle GG 7 G" donne
r. = - tang G'GX".
• Al
Or GG 7 et. GN 7 sont deux droites rectangulaires (25), et GX" est située dans le plan de ces deux droites (43); donc l’angle
G'GX" = 90“ — N'GX" = 90° — P ,
et Téqtialion devient • ‘ ,
« • u tang P
De ces deux expressions de II et ît, ou tire immédiatement
t,el n .
XI 7r = — 7= constante, et - = tang 1 P.
u* .• * It >
DE GÉOMÉTRIE PURE. £i
54. Prenons un second plan perpendiculaire sur le premier, ou aura deux équations semblables; et si l’on remarqua que P' = go° — P, on aura
nn':
constante,
et, de même,
T77T -= constante.
Ainsi ,
Quand deux plans sont perpendiculaires, les distances de leurs foyers à l’axe de rotation ont leur produit constant ,• et les distances de leurs caractéristiques au même axe ont aussi leur produit constant.
