CHAPITRE II

SUR LES ARCS D’UNE SECTION CONIQUE DONT LA DIFFÉRENCE EST RECTIFIABLE. PROPRIÉTÉS DES ARCS ÉGAUX DE LA LEMNISCATE ....

SECTION I re .

DES ABCS ASSOCIÉS.

1 . On appelle arcs associés ou arcs semblables sur une section conique les arcs dont la différence est assignable en ligne droite. V angle circonscrit à un arc est l’angle formé par les deux tangentes menées par les extrémités de l’arc; les côtés de l’angle sont les longueurs de ces tangentes comptées depuis les points de contact jusqu’à leur point de rencontre au sommet de l’angle.

Les arcs associés donnent Jieit à plusieurs propositions importantes qui ont été énoncées dans un Mémoire inséré aux Comptes rendus de F Académie des Sciences (séance du 23 octobre i843).

Je me propose , dans ce chapitre , de donner la démonstration géométrique de ces divers théorèmes, qui fournissent l’occasion de faire des applications variées des théories de la Qèomètrie supérieure.

.2. Théorème I. — Deux arcs associés d’une section conique ont toujours les sommets de leurs angles circonscrits situés sur une seconde conique décrite des mêmes foyers que la première ; et la différence des deux arcs est

( * ) Au sujet dés communications faites par M. Chasles à l'Académie des Sciences, dans Jcs séances des j 3 octobre i8iJ3 et ai juillet 1 845;

5b MÉLANGES

égale à la somme (les côtés de l'angle circonscrit au premier, moins la somme des côtés de l’angle circonscrit au second.

Démonstration. — Commençons par démontrer la proposition réciproque. Soient (fig. 7, PI. I) deux coniques décrites des mêmes foyers F et F', MN m et SV5 deux angles circonscrits à la conique intérieure et qui ont leurs som- ... , mets sur la seconde; il faut prouver que les arcs interceptés

Mm , Ss ont leur diiférence rectifiable. Soit encore M' le point de la conique qui est infiniment voisin de M, en - ' allant vers l’extrémité s du second arc. Menons la tangente

MM' qui coupe la deuxième conique au point jV infiniment voisin de N (en allant vers V), et enfin menons la tangente IV m' qui touche la première courbe au point ni infiniment 1 . voisin de m. Des points M et m' comme centres, décrivons .

les arcs de cercle NP, IV P 7 . O11 a évidemment

M' N' = MP — ' MM' + PN' = MN — MM' 4- PN', et de même,

• m’ N' = m N -t- mm' — P' N ,

d’où

(MN-4-/»N) — (M' N'-t- m'N') -t- (PN' — P'N) *= MM' — mm'.

'Les triangles rectangles infiniment petits 1 NPIV, IN F IN' ont la même hypoténuse NK', et, de plus, un angle aigu égal. En ciïet, d’après un théorème de M. Poncelet, qui est cité à la page 7 du Mémoire, et que nous démontrerons plus

loin , on a . , ;

angle FN' m = angle F' N /«'.

Mais on a aussi dans la conique homofocale NV,

angle FN' L = angle F' NL',

puisque LNN'L' est la tangente au point (N, N') ; donc FN' L — FN' M = PN' N = F' NL' — F' N ni = P' NN'.

Donc, enfin , les triangles sont égaux, aux infiniment petits

. s DE GÉOMÉTRIE PURE,

du second oindre près , et ils donnent