PN' = P'N

Donc on a, en désignant respectivement par T, t, T', les tangentes MN-, mN, M'iY, m'JV, la relation

(T + /) — (T'H- 1') = MM' — mm'-, pour un autre point M® infiniment voisin de M', on aurait (T' -f- f) — (T" +■/") = M'M"— m' m" ,

et en continuant de proche en proche jusqu’au point S, dont nous désignerons les tangentes SV et jV par T„, t„,

( Tu — i 4* i) — ( T q 4- = M„i s m n t s .

Faisanda somme de toutes ces équations, il vient (T 4- f) — (T„ 4- = MS — ms — M m — Si.

Passons maintenant au théorème ‘ lui-même. Les arcs Mm, S s, ont, par hypothèse, leur différence assignable en ligne droite, c’est-à-dire qu’en désignant par D une certaine droite, on a

M m — Si = D.

Par le point N , faisons passer une conique homofocale à la conique MS ms ; si elle ne passait pas aussi parle point V, elle couperait SV en un. certain point V', et, en menant la tangente W, on aurait, par la démonstration qui précède,

( MN 4- /»i N ) — (SV'4- / V') = D'= arc Mm — arcSi';

IV étant une autre droite. De ces deux relations, on déduit • arcSi' — arcSi = D — D'=jî, ou arcü'— < î; ou pourrait donc rectifier l’arc elliptique s s 1 , ce qu’on sait

être impossible. Donc le point / se confond avec le point s,

et, par suite, le point Y' avec le point V. Donc, etc.,