On pourrait croire , au premier abord , que l’arc s d est

rectifiable , comme étant la différence de deux arcs d’ellipse, qui pourraient être associés, et il en résulte que. la fin de la dernière démonstration semble manquer de force et de justesse; mais cette difficulté n’est qu’apparente : car il est visible , d’après la construction même , que les tangentes Y s, Y ! s' sont menées du meme côté de la courbe, et, par conséquent, que les arcs ms et ms' sont dirigés dans le même sens. Or, si deux arcs associés peuvent avoir une extrémité commune, comme nous le verrons dans un instant, ils sont toujours dirigés en sens contraire l'Un de l’autre à partir de cette origine , et ils ne peuvent jamais se superposer. Donc, s’il en est autrement, c’est-à-dire si leur différence donne un arc même de l’ellipse, c’est une preuve qu’ils ne sont pas associés. Et ceci résulte d’ailleurs immédiatement du principe fondamental de toute cette théorie, savoir, qu’un arc d’ellipse ne peut pas être assigné en ligue droite. .

4. La fig. y , sur laquelle les raisonnements qui précèdent sont établis, représente deux ellipses homofocales ; mais comme le théorème de M. Poncelet, sur lequel il repose, est également vrai pour l’hyperbole et la parabole, la démonstration est générale pour les trois courbes : on doit seulement ajouter que, si les deux coniques sont deux hyperboles, il ne peut être question que des tangentes menées par des points de l’une des branches de l’extérieure à la branche de l’intérieure qui s’ouvre du même côté; et si ce sont deux paraboles , il faut aussi qu’elles s’ouvrent du même côté.

5. Théorème II (troisième du Mémoire). — Quand deux arcs associés ont une extrémité commune , leur diffé-

DE GÉOMÉTRIE PURE. 5 ij

.renée est égale à ta différence entre les tangentes menées parles deux autres extrémités et terminées à leur point de concours.

Par ce point et l'extrémité commune des deux arcs , on peut faire passer une conique homofocale à la proposée.

Démonstration. — Prouvons d’abord la proposition réciproque, ainsi que nous l’avons fait dans le premier théorème ; supposons que la conique proposée soit l’ellipse aOb de la fig. y, et que la conique homofocale soit l’hyperbole CHI.

Soient I un point de l’hyperbole; IG, Is deux tangentes menées à l’ellipse par ce point, et H le point d’intersection des deux coniques, intermédiaire aux points decontactG, s. Il s’agit de prouver qu’on a

arc HG — arc H s = IG — I s.

Raisonnons comme dans le premier théorème.

Si l’on prend sur l'hyperbole, de I vers H, un autre sommet d’angle circonscrit l' infiniment voisin de I (on n’a pas indiqué ces points pour ne pas surcharger la figure) , et qu’on mène les tangentes l'y , Va qui déterminent sur l’ellipse deux points de contact y et a, infiniment voisins de G et de s et compris tous deux entre ces points en allaiit de chacun d’eux vers le point H , on verra sans peine ( en prenant le même tour de démonstration que dans le théorème I, et en s’appuyant encore sur le théorème de M. Poncelet) , qu’on obtient la suite d’égalités

(T — f) — (T' — r*) = G 7 — se,

; (T„, — t« -1) — (T, — r„) = 7„, 7* — <r„, tr„,

desquelles on tire, par l’addition ,

(T — f) (T„ — t,) — Gy, — s a„,

6o MÉLANGES

c’est-à-dire une équation analogue à celle qu’on a déjà trouvée pour des coniques de môme espèce, mais dans laquelle on fait la différence des côtés de chaque angle circonscrit, au lieu d’en faire la somme .

Actuellement, supposons que le point I marche, de proche en proche, jusqu’en H. La dernière différence (T„ — /„) sera nulle, puisqu’au point H on a

T„ = o et t„ = o,

Donc enfin

(T — /) = GH — îK;

ce qu’il fallait d’abord démontrer.

Cette démonstration s’applique naturellement aux deux arcs d hyperbole interceptés entre deux tangentes menées par un point d’une ellipse homefocale, et comptés à partir du point d'intersection H des deux courbes. On verra sans difficulté qu’elle convient également au cas de deux paraboles inversement placées. . '<

Démontrons maintenant le théorème tel qu’il est énoncé plus haut.

Il s’agit de prouver que l’extrémité commune H de deux arcs associés HG, Hs et le sommet I d e l’angle circonscrit Gif sont sur une môme conique homofocale, qui sera une hyperbole dans le cas de la figure-

Par le point H , faisons passer une hyperbole homofocale à l’ellipse aOb\ je dis que cette courbe passera aussi en- 1. En effet, supposons que cela n’ait pas lieu ; elle coupera la tangente GI en quelque point I par lequel nous mènerons la tangente is' du même côté que 1$. On vient de démontrer qu’on aurait alors

G / — iV = HG — H /, /

ou bien

HG — H s' = D' ,

D’ étant une certaine droite. Mais on a, par hypothèse,

HG - Hs = D ,

de géométrie pure. 61

D étant une aulre droite. Donc

EU — II s' = arc ss’ = S,

ce qui est absurde, puisqu’il en résulterait qu’on pourrait assigner en ligne droite d l’arc d’ellipse sj'; donc les points I, / se confondent et le théorème est complètement démontré.

6. On voit sur la figure que, si deux arcs associés, de même origine, HG, H;, peuvent résulter de l’angle circonscrirGI* , ou peut aussi les obtenir au moyen de deux angles qui s’appuient en V et R sur une ellipse liomofocale à l’ellipse proposée. Tels sont les arcs Sj et SG. Mais cela n’empêche pas l’hyperbole liomofocale de passer à la fois par les points S et I, car, si l’on mène le diamètre SOIf , on a

•- - HG — H $ = S $ — SG.

Ceâ arcs associés supplémentaires ont donc la même dif- ' férence. Or il a été démontré que les points H et I sont sur une hyperbole liomofocale; donc 1 extrémité S du diamètre HS s’y trouve aussi , mais sur une branche différente.

Par le point P, où l’asymptote oP rencontre l’ellipse, menons la tangente PK à l’hyperbole. On a , par le théorème II ,

arc H oo — arc HK = P oc — PK ,

d’où :

arc H co — Poo = arc HK — PK.

Donc la différence entre l’arc infini delà courbe et l’asymptote, aussi infinie, est une quantité finie qui s’exprime, à une droite près, par un arc-dela courbe, et, par suite, ne peut être assignée en ligne droite. Il est évident que celte proposition est vraie pour tous les points H de l’hvperboîe, car on pourra toujours faire passer une ellipse honiofbcale par çe point, quel qu’il soit. Donc, etc.

6a MÉLANGES

7. Passons actuellement à quelques constructions qui dérivent naturellement des deux théorèmes démontrés cidessus.

i°. Si l’on demande de déterminer sur une conique , à partir d’un point donné, un arc associé à un arc donné, il suffit de faire passer une conique homofocale, fie meme espèce, par le sommet de l’angle circonscrit à l’arc donné. Le point où cette conique coupe la tangente menée par le point donné est le sommet de l’arc circonscrit à l’arc ^ cherché.

2 °. En répétant plusieurs fois la même construction bout à bout, on arrive à former un arc multiple, à une droite près, d’un arc donné.

3°. Puisqu’on peut passer d’un arc donné à un arc multiple, à une droite près, par de simples constructions géométriques qui peuvent se traduire en formules algébriques , il est clair que, réciproquement, la construction d’un arc sous-multiple, à une droite près d’un arc donné, dépend de la résolution d’une équation algébrique.

4°. Un arc étant donné, si l’on veut déterminer un arc associé dont l’angle circonscrit ait son sommet sur une courbe donnée, on voit qu’il suffira de prendre pour ce sommet l’un des points d’intersection de cette courbe avec la conique homofocale qui passe par le sommet de l’angle circonscrit à l’arc donné.

5°. Si l’on veut que cet angle soit de grandeur donnée, on prendra l’un des points d’intersection de la conique homofocale avec la courbe lieu géométrique des points d’où l’on voit la conique proposée sous l’angle donné. Cette courbe est du quatrième degré; on a donc huit solutions différentes de la question. - .

6°. Les coides des angles circonscrits à la proposée sont tangentes à une troisième conique, polaire de celle que parcourt le sommet de ces angles. ( Voir le Traité de

■M. Poncelet, page 278.) Donc, si l'on demande que la corde de l’arc associé cherché passe par un point donné, ou soit tangente à une courbe, il suffira de mener par ce point, ou tangentiellement à la courbe, une tangente à cette conique polaire ; ce sera la corde cherchée.

7 0 . Si l’on veut que celte corde soit de longueur donnée, on prendra l’une des tangentes communes à cette conique polaire et à la courbe enveloppe des cordes égales à la longueur donnée dans la conique homofocale de la proposée.

8°. Enfin le théorème II donne un moyen évident de diviser un arc donné en deux partiès dont la différence soit rectifiable. ,

8. Théorème III (deuxième du Mémoire). — De quelque manière que soient pris sur une conique deux arcs associés, les tangentes menées par leurs extrémités forment un quadrilatère [ circonscriptible au cercle.

Ce théorème résulte très-simplement de ce qui précède. En effet, soient [fig. 8) ab, a 1 b' les deux arcs. Les quatre tangentes a M, £M, a' N, b 1 N donnent lieu à six points d’intersection , dont quatre (les seuls qu'il nous soit utile de considérer ici) sont situés sur deux coniques différentes d’espèce l’une de l’autre et homofocales à la proposée. Ainsi , dans la figure, les points M et N, qui sont les sommets des angles circonscrits aux arcs donnés, sont sur une ellipse homofocale à l’ellipse donnée, et les points X et Y, qui correspondent aux deux arcs a b', a' b, sont sur une hyperbole homofocale qui coupe en i l’une des moitiés de l’ellipse sur laquelle sont pris les arcs associés.

Le théorème I dorine la relation

ab — a'b'=z (Ma +• Mi) — (Na'-+- Ni').

Or on a

. 'ab —a' b' = ( ai + ib) — (a' i + ib' ) a=’< ta — ib’ ) (fa'— ib J -

Actuellement, le théorème II donne les (leux relations.

ia — ib'=Xa — Xb' et ta' — ib = Y a' — Y b.

Donc ou a

(Ua + YLb) — (Na , + N6 , ) = (Xfl — X6') — (Y«' — Y b), d’où l’on tire, en supprimant les lignes communes,

MY + NX = MX 4 - NY,

ce qui prouve que le quadrilatère MXNY est circonscriptiblc au cercle.