Il est facile de voir que, réciproquement, si l’on a sur

un plan un cercle et une conique, et qu’on trace les tangentes communes à ces deux courbes, ces tangentes forment un quadrilatère ACBD, dont deux sommets opposés A et B sont situés sur une deuxième conique liomofocale à la proposée ; les deux autres sommets C et D sont situés aussi sur une troisième conique liomofocale, et de même espèce que la proposée; enfin les deux points de concours E et F des côtés opposés sont également situés sur une quatrième conique homofocale, d'espèce différente. Et il résulte de là, en vertu du théorème I , que les quatre tangentes communes à un cercle et à une eonique déterminent sur -la conique deux arcs associes. ' "

10. On peut demander quelle est la relation qui a lieu entre les arcs déterminés sur le cercle, comme sur la co-

'nique, par les quatre tangentes communes aux deux courbes. Cette relation se trouve comprise dans le théorème suivant :

SU’ on décrit une ellipse dans le plan d'une section conique quelconque A, et quon mène les quatre tangentes communes aux deux courbes , les points de contact marqueront sur la conique A deux arcs qui jouissent de cette propriété, que la somme des éléments du premier divisés -

rcspechVemcnt parles demi-diamètres tic l'ellipse qui sont parallèles aux directions de ces cléments, moins la somme des éléments du second divisés respectivement par les demi-diamètres qui leur sont parallèles , forment deux intégrales dont la différence s’exprime algébriquement.

En«ffet, soient (fig. 7 ) Mm et S s deux ares de la conique interceptes par les tangentes communes à cette conique et à un cercle , dont le centre se trouve an point de concours T des tangentes en N et en V; les arcs Mm et Ss sout associés, et leur différence est égale â

(NM 4- Nm)-(VS + V. t );

cette différence est aussi celle des deux arcs MS et ms. Soient Ma , **', a' a", . . . , a„S les arcs élémentaires , dont la somme forme l’arc MS, et R , r, ; y , r", etc., les rayons du cercle qui sont parallèles respectivement à ces éléments. Soient également m{ 3, [3 (B', /5' (3", . . ., (3 „s et R', p, p, p", p" 1 , etc., les éléments de l’arc ms et les rayons du cercle qui leur sont parallèles respectivement. La relation qui existe entre les deux arcs peut s’écrire comme il suit, puisque tous les rayons du cercle sont égaux entre eux :

Actuellement, faisons une déformation liomographique de la figure, de manière que la droites l’infini reste à l’infini [Géométrie supérieure , n os 534 et suiv.) ; au cercle correspondra une ellipse concentrique, et aux rayons R, r, etc., R', p , etc., correspondront les demi-diamètres D, d, d 1 , etc., rf, c5, d', etc., de cette ellipse, parallèles respectivement aux éléments Mp, pp', etc., ma, oV, do'^clc..

de la conique A qui sera l'homologue de la conique donnée. D’après le théorème du n° 536 de la Géométrie supérieure, on aura

Ma Mu m S ni a

X ~ TT’ r^d 7 ’ 610- ’

el l’cquation ci-dcssus deviendra

. Le second membre est une quantité qui s’exprime algébriquement , et le premier est égal à

Donc le théorème est démontré.

11. Le théorème III offre un moyen très-simple de déterminer, à partir d’un point donné, sur une conique, un arc associé à un arc donné; car il suffit d'inscrire un cercle dans le triangle formé par les trois tangentes menées aux trois points donnés sur la conique , et de tracer ensuitela quatrième tangente commune aux deux courbes : son point de contact sur la conique est précisément l’extrémité de l’arc cherché.

12. Quand les deux arcs associés ont une extrémité commune, deux des quatre tangentes, qui formaient le

•quadrilatère circonscriptible du théorème précédent, se confondent en une seule; le cercle, qui ne cesse jamais d’être tangent à ces quatre droites, est alors tangent à cette tangente , qui en représente deux , et il est tangent au point de cette tangente qui est l’extrémité commune des deux arcs. Ainsi on a ce nouveau théorème, qui est le quatrième du Mémoire de M. Chasles :

DK GÉOMÉTRIE PURE.

Théorème IV. — Quand deux arcs associés ont une extrémité commune , dans l'angle formé par les tangentes menées par leurs deux autres extrémités, on peut irisa ire un cercle qui touche la conique au point commun des deux arcs. i

Et réciproquement :

Quand un cercle est. langent à une conique en un point quelconque , les deux tangentes communes à ces deux courbes déterminent , sur la conique , tleux arcs cbmpris entre leurs points de contact et le point de contact du cercle, qui ont leur différence rectifiable et cette différence est égale à la différence des deux tangentes.

Corollaire . — Soit b l’extrémité commune des deux arcs associés ab , a 1 b 1 ; les sommets A, A' des angles circoti- ■ scrits à ces arcs sont, Comme nous l’avons vu, situés sur une conique ltomofocale à la conique ab'a 1 sur laquelle sont pris les deux arcs, et le théorème IV prouve qu’on peut décrire un cercle tangent à la conique au point b , et tangent en même temps aux deux côtés A a, A 1 a 1 . Le centre de ce cercle se trouve, comme dans le cas général , au point de rencontre M des tangentes AM, A'M., menées en A et A' à la conique AA', lesquelles sont les bissectrices des angles extérieurs A' AB, AA' B'. Or AM est la normale à la conique proposée en son point b. Donc la normale au point de contact du côté AA 1 et les bissectrices des angles B A A', B'A'A, concourent toutes les trois en un même point. *

Ce théorème nous sera utile plus loin pour démontrer les propriétés de minimum des portions de polygones inscrites à une conique et circonscrites à une seconde conique homofocale.

- 13. Ladémonstrationélémentaireque j’ai donnée du théorème III serait suffisante si je n’avais pour but que de jus- •tifier les énoncés de M. Chasles. Mais je veux encore mon-,

trerrfu’on peut arriver aux mêmes résultats en s’appuyant sur quelques propositions de la Géométrie supérieure. Si la marche que je vais suivre est moins prompte que la précédente, elle aura l’avantage particulier de mettre sur la voie de plusieurs autres propositions concernant les coniques homofoeales, et d’indiquer, par quelques exemples, de quelle extension sont susceptibles certains théorèmes de la Géométrie supérieure, lesquels peuvent sembler, au premier abord, fort étrangers à ce sujet.

1-4. Le théorème III serait évidemment démontré si l'on prouvait que les côtés de deux angles circonscrits à une conique forment un quadrilatère circonscriptiblc au cercle, toutes les J'ois que leurs sommets sont situés sur une seconde conique biconfocale à la première.

C’est donc cette dernière proposition qu’il s’agit d’établir. Deux moyens se présentent pour cela; l'un direct, en s’appuyant sur les principes mêmes de la Géométrie supérieure; l’autre indirect, en' ce sens qu’il repose sur la méthode de transformation par polaires réciproques. levais d’abord exposer celui-ci qui fournit un exemple intéressant de l’application de cette méthode. J’exposerai ensuite l’autre moyen.

1o. établissons d’abord les éléments de cette transformation,, et supposons qu’il s’agisse de transformer une conique quelconque, en prenant pour conique auxiliaire un cercle dont le centre se trouve placé en l’un , F, des foyers de la conique donnée.

A ce foyer F et à la directrice L qui lui est relative, correspondent, dans la figure polaire, l’infini et un point/ situé sur l’axe A de la conique. L’autre foyer F / et le petit axe, ou axe transverse B, ont pour réciproques une droite f\ perpendiculaire en f à l’axe A , et un point b de cet axe. Soit G le centre de la conique donnée;, on a la proportion-

harmonique

oo F CF •

x F' CF'*

et', par conséquent (Géométrie supérieure , n° 585) , la même proportion existe entre les quatre droites parallèles de la figure polaire, ou, ce qui revient au, même, entre les quatre points où elles coupent l’axe A. Ces quatre points sont

F, =o, <f' et b,

et ils répondent respectivement aux quatre premiers points^, » , F, F' et C.

On a donc

F» b oo F oo Ftp'

Ftp' b <f' ' b oo b y '

d’où l’on tire

F ? ' = — êtp'.

Ainsi , en premier lieu , la droite corrélative du second foyer F' divise en deux parties égales la distance du point F au point !>.•

Par le foyer F, menons une transversale quelconque qui coupe la conique aux points m et /»; les tangentes en ces points se coupent en i sur la directrice L , et si l’on mène la droite Fi, qui coupe la conique en m! et n 1 , cette droite est perpendiculaire à la transversale mFn, et lui est conju-r gitée, c’cst-à-dire que les tangentes en m! et n 1 vont se couper au point i' où la transversale rencontre la directrice. Ce sont là des propriétés bien connues du foyer des sections coniques, et qu’il serait d’ailleurs facile de déduire de certains théorèmes démontrés dans la Géométrie supérieure , Examinons ce que deviennent, dans la figure polaire, les constructions précédentes. Un point de la droite à l’infini correspond à la transversale; deux tangentes, parallèles entre elles , M, N issues de ce point , et deux points de con-

tact (j. cl v sur la conique corrélative, correspondent respectivement aux deux points m et n et aux deux tangentes mi, ni ; et puisque ces tangentes se coupent en i sur la directrice, la corde, ou plutôt le diamètre pv, passe par le point fixe l, qui est ainsi le centre de la conique corrélative. Démontrons enfin que cette conique est un cercle. Le point Idc l’infini qui répond à la corde mu, étant le pô/e de celle corde dans le cercle auxiliaire, se trouve sur la droite Fi’ perpendiculaire à mn ; donc le diamètre D conjugué au diamètre ftv est parallèle à F/; et, de même, le diamètre D' conjugué au diamètre p!v' est parallèle à F/ 7 . Mais ces deux diamètres D, D' sont conjugués par rapport à la conique réciproque, parce que les points correspondants i, i' sont conjugués par rapporta la conique donnée; et, de plus, ils sont rectangulaires, comme les droites F i', F i auxquelles ils sont parallèles. Donc la conique qui a son centre au point l est un Cercle.

Ceci résulte d’ailleurs directement de ec que, dans ce mode de transformation, « l’angle de deux droites, dans » une figure, est égal à l'angle des rayons menés d’un point » fixe aux deux points qui correspondent à ces droites dans » la figure polaire» [Géométrie supérieure, n°6i0). Mais il était bon de faire voir la chose d’une autre manière qui indique quel est le point fixe qui jouit de cette propriété remarquable.

Ainsi toute conique qui a son foyer au centre du cercle directeur se transforme en un cercle qui a son centre au pôle de la directrice.

16. En reprenant les mêmes raisonnements en sens inverse, on démontrerait sans peine que, réciproquement,

Tout cercle de la figure donnée se transforme en une conique, dont le foyer est au centre du cercle directeur, et qui a pour directrice la polaire réciproque de son centre.

Supposons enfin qu’on ait à transformer, dans les mêmes

conditions, deux coniques biconfocales. Les deux coniques E, E', donnent lieu à deux cercles C, C', dont les centres, qui correspondent aux deux directrices relatives au foyer F (centre de la transformation polaire), sont situés sur l’axe qui joint les foyers des coniques. A ces deux foyers F, F', qui sont des centres d’homologie ou des points de concours des tangentes communes aux deux coniques, correspondent lés deux droites de jonction des points de rencontre des deux cercles, et, puisque les tangentes communes sont ici nécessairement imaginaires, les points de rencontre des cercles le sont aussi, et les cordes communes sont : l’une, la droite à l’infini ; c’est celle qui répond au foyer F : l’autre, Y axe radical des deux cercles; c’est la droite F', qui divise en deux parties égales la distance du point F au point corrélatif du petit axe B, et qui correspond au second foyer. Dans la figure proposée, les deux droites B et 00 sont telles, que le pôle de l’une, pris par rapport à l’une ou l’autre des coniques indistinctement, se trouve sur l’autre; donc les points correspondants b et F sont tels, que la polaire de l’un, prise par rapport aux deux cercles, passe par l’autre. Ainsi ces points 11e sont autre chose que les points e et f 'qui font l’objet du chapitre XXXI de la Géométrie supérieure , et l’on doit s’attendre, par conséquent, à ce que les diverses propriétés de deux cercles, relatives à ces points , donnent lieu à des propriétés corrélati ves de deux coniques biconfocales. C’est, en effet, ce que je ferai voir dans un instant.

Remarquons d’abord que si les deux coniques transformées sont de même espèce , l’un des points f ou b est intérieur aux deux cercles corrélatifs; c’est le point F, si ce sont deux ellipses , et c’est le point b si ce sont deux hyperboles; l’autre point leur est extérieur. Si l’on a une ellipse et une hyperbole, le point F est intérieur au cercle qui correspond à l’ellipse, et le point b est intérieur au second

cercle qui correspond à l’hyperbole et qui est lui-même tout à fait extérieur au premier cercle. Dans le cas de deux paraboles, directes ou inverses, on aurait deux cercles tangents, intérieurement ou extérieurement, au point F qui serait alors le point de réunion des deux points e et f en question, et qui participerait à toutes leurs propriétés.

17. Ce qui précède étant bien compris , il est bien facile de démontrer que si l’on prend ( Jig . 8) deux points N et M sur une conique , et qu’on mène par ces deux points quatre tangentes NB', NA', MA , MB à une seconde conique biconfocale, le quadrilatère NXMY formé par ces quatre tangentes est circonseriptible à un cercle qui a son centre au point de concours T des tangentes NT, MT menées en N. et M à la première conique. Ces tangentes divisent en deux parties égales, l’une l’angle YNXet l’autre, l’angle YMX. Il suffît donc de prouver que la distance Tx du point T à la tangente MB est égale à la distance T y du même point à la tangente N B'.

Effectuons la transformation polaire détaillée ci-dessus • nous aurons pour figure corrélative la .fîg. 179 de la Géométrie supérieure (qui se rapporte au n° 764 de cet Ouvrage), en supposant qu’il s’agisse de deux ellipses biconfocales. Les deux points N etM, le point T, et les quatre tangentes de notre figure correspondent respectivement aux deux tangentes ah , a' b' de la Jig. 179 (à laquelle' le lecteur est prié de sc reporter), à la corde de contact ii', et aux quatre points a, b, a' , b'.

Cela posé, prenons l’équation du n° 706 de la Géométrie supérieure , savoir-:

(*,B) ~ («,B) * (M ,b) ~( 0 ,a) ' (M ,bf

d’après le dernier alinéa de la page 494- La correspondance des points et des droites de cette formule s’établit, ainsi

qu’il suit, avec ceux de notre démonstration.' Le point O correspond au point F, centre du cercle directeur; les points a , b sont les points a, a' de la Jig. 179, et les droites A , 11 sont les tangentes MB , NB'; enfin la droite M et le point m sont la corde ii' (Jig. 179) et le point T de notre figure. Le premier membre de l’équation n’est doncautre chose que le rapport même des deux distances Tx, T jr, dont nous avons à prouver l’égalité. Quant au second membre, il peut s’écrire ainsi : — • ’ en adoptant 1 les nota-

tions du u° 764 de la Géométrie supérieure. Or on démontre dans ce numéro que ce produit des deux rapports est égal à l’unité. Donc enfin Tx = T y , ce qui démontre le théorème.

Autrement. Les quatre points a , b, a 1 , b' de la fig. 1 79 . sont situés sur une conique « qui a l’un de ses foyers en e, et pour directrice correspondante la droite ii'. » (V oir le Nota de la page 537-) Donc il lui correspond un cercle dans la figure polaire réciproque, c’est-à-dire dans notre figure ; ce cercle doitêlrc inscrit dans le quadrilatère NYMX, puisque sa conique corrélative est circonscrite au quadrilatère réciproque an' bb'\ et enfin son centre est le point T qui correspond à la directrice ii' de la conique. Tout ceci résulte de ce que nous avons dit ci-dessus sur la transformation polaire.

18. O11 peut encore démontrer le théorème qui précède , en s’appuyant sur l’une ou l’autre des deux propositions du n° 822 de la Géométrie supérieure. En effet, il suffit, dans un cas, de supposer qu’on prend pour bases des deux cônes les deux coniques données, et pour sommet commun le point situé à l’infini sur la droite menée perpendiculairement au plan de ces coniques; et, dans le second cas, de supposer que le rayon de la sphère, sur laquelle sont tracées les deux coniques sphériques homofocalcs, est de-

venu iufini-, de lelle sorte que ces coniques deviennent des coniques plaues homofocales.

Mais, si l’on fait attention que M. Chasles arrive à la démonstration de ces deux propositions par une transformation des cônes homocycliques en cônes hoinofocaux , et que les propriétés des premiers de ces cônes ne font que généraliser et reprôduire (quelquefois avec des raisonne- ' ments identiques) celles qui sont relatives à deux cercles, et qui font l’objet du chapitre XXXI , on demeurera convaincu que ces deux démonstrations nouvelles du théorème qui nous occupe, rentrent au fond dans celle que je viens de développer en m’appuyant sur une transformation polaire. Ces trois démonstrations ont le même défaut, si c’en est un, elles sont indirectes , et de l’espèce de celles que M. Chasles conseille d’éviter, quelque rigoureuses quelles soient d’ailleurs. Les principes de la Géométrie supérieure permettent d’en donner mie entièrement directe, ainsi que je l’ai annoncé plus haut ;-mais celles qui précèdent n’en offrent pas moins un exemple intéressant des ressources que peut offrir l’importante théorie des polaires réciproques, et elles ont aussi l’avantage de marquer des rapprochements, bien inattendus pour les personnes peu familiarisées avec les merveilles de la géométrie moderne, entre des propriétés de l’étendue, qui sembleraient au premier abord n’avoir aucun lien commun. En voici du reste de nouveaux exemples qui me semblent assez intéressants pour que je n’hésite pas à oublier un instant le sujet principal de ce chapitre.

Propriétés diverses des coniques biconfocales.

19. Les propriétés de deux cercles qui font l’objet du chapitre XXXI de la Géométrie supérieure donnent lieu corrélativement à autant de propriétés d’un système de deux coniques biconfocales; il suffit, pour obtenir ces

dernières, de transformer les théorèmes relatifs aux cercles, en employant la méthode des polaires réciproques, ainsi qu’on en a vu ci-dessus un premier exemple. Cette transformation ne pouvant plus offrir de difficulté, après ce qui a été exposé plus haut, je vais me borner à donner les énoncés de ces théorèmes corrélatifs..

Celui du u° 700 de la Géométrie supérieure donne Ijep au suivant :

Théorème A. — -Si, par un point pris arbitrairement, on mène les deux droites qui sont conjuguées à la fois par rapport à deux coniques biconfocales , ces deux droites sont toujours rectangulaires.

Je donnerai plus loin une démonstration directe de cette proposition , et l’on verra que ces deux droites conjuguées sont, l’une la tangente, et l’autre la normale à une troisième conique biconfocale aux proposées , et passant par le point donné. '

Le théorème du n° 761 donne le suivant :

Théorème B. — Les angles sous lesquels on voit 'deux (ou- plusieurs) coniques biconfocales , d’un point quelconque pris dans leur plan , ont la même bissectrice ou des bissectrices rectangulaires.

Du corollaire I de ce numéro, on conclut que :

Théorème C. — Les tangentes à une conique , issues d’un point quelconque d’une conique biconfocale , font des angles égaux avec la tangente menée en ce point à la première conique , et , par suite, avec les. rayons vecteurs qui aboutissent en ce point et aux deux foyers.

C’est le théorème de M. Poncelet qui a servi à démontrer 1 • .*■ * ' la première proposition du Mémoire de M. Chasles sur les

arcs d’une conique, etc.

Le corollaire II donne cette autre propriété connue :

Théorème D. — Deux coniques biconfocales qui se rencontrent , se coupent toujours à angle droit.

Le n° 762 donne lieu au théorème suivant :

Théorème E. — Étant données deux coniques biconfocales E, E', si l'on mène une tangente quelconque A à la première, et une tangente A 1 à la seconde perpendiculaire à A, ces deux tangentes se couperont en un point M.

i°. Les deux tangentes B , B', menées du point M aux deux coniques respectivement se coupent aussi à angle droit

2 °. Les droites qui joignent deux à deux les points de contact des tangentes A et A', ou B et B', avec leurs coniques respectives , enveloppent une troisième conique biconfocale aux proposées ;

3°. Si Ton joint le point M au foyer F , centre de la transformation polaire, par une droite J, on aura, quel que soit le point M , la relation constante

sin (A, B) sin(J, A) . sin(J, A)

x - -A y— v 1 x — — const.

sin(A',B') sin(J , A') . sin(J, B')

(Géométrie supérieure , n° 619) et, si Von mène , parallèlement à la droite J, une transversale qui coupe les quatre tangentes aux points a , (3 , a', /3', on aura

Le théorème du n° 763 donne celui-ci :

Théorème F. — Si, d'un point pris dans le plan de trois coniques biconfocales E, E', E", on mène deux tangentes A, A! à la première , et deux tangentes M et N aux deux autres respectivement , on aura la relation sin(M, A) . sin{M, A' ) ua

sin ( N, A) . sin ( N', À') “ C ° nSt - ~ n’ ' en désignant para, p cl v les trois points ou le grand a ce

commun tics trois coniquks coupc leurs directrices relatives au foyer transformateur F .

Le corollaire du 11 0 763 donne ce théorème :

Théorème G. — Si le point est pris sur l’une des coniques IL, les deux tangentes à cette conique se confondent en une seule A , et l'on a la relation

sin ( M , A) sin ( N , A )

Le n° 764 engendre le théorème H, dont j’ai développé plus haut la démonstration ; pour abréger, je n’en répéterai pas l’énoncé.

Enfin le théorème du n° 765 donne lieu au suivant :

Théorème I. — Si une transversale quelconque O, menée dans le plan de deux coniques biconfocales, rencontre l’une d'elles en deux points d’où l’on mène à la seconde quatre tangentes A, B et A', B' respectivement , on aura la relation

tan 8 ~ (A, O) tangi(A',0)

tang^(B,0) tangi(B',0)