Établissons quelques propositions préliminaires
Une conique quelconque et un cercle décrit autour d’un
de ses foyers comme centre , sont deux courbes homologiques, qui ont pour-centre d’homologie le foyer en question ( Géométrie supérieure . n° 529). Menons par ce foyer une transversale quelconque. Son pôle, pris par rapport à la conique, est situé sur la directrice qui correspond à l’infini du cercle, et, pris par rapport au cercle, il est situé à l’infini sur le rayon perpendiculaire à la transversale. Or ces deux pôles sont deux points homologues; donc ils sont situés sur un même rayon d’homologie, perpendiculaire à la transversale, ce qui donne cette propriété des coniques.
Deux droites conjuguées par rapport, à une conique, et issues d'un de ses foyers , sont toujours rectangulaires.
Deux telles droites seront donc conjuguées par rapport à toutes les coniques qu’on décrirait des mêmes foyers que la
proposée. Donc, si l’on a égard à Y obsenmtion qui termine le n° 736 de la Géométrie supéricui'c (page 5i3), on en conclura que :
Chacun des deux foyers d’autant de coniques biconfoca/es qu'on voudra , est un centre d' homologie commun à toutes ces coniques , ou, si l’on veut, est le point de concours de deux tangentes ( imaginaires ) communes à toutes ces courbes.
22. Oh peut , à ce sujet , remarquer que quatre tangentes forment, en général, un quadrilatère complet qui a six sommets. Or jl n’en existe ici que deux qui soient réels : ce sont les deux foyers; les quatre autres sont imaginaires par couples, et deux de ceux-ci sont situés à l’infini. En effet, d’après le n° 693 de la Géométrie supérieure, la droite qui joint les points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère circonscrit à une conique, a son pôle au point de rencontre des deux diagonales. Ce point de rencontre n’est autre que le centre môme de la courbe; car l’une des diagonales est l’axe qui joint les deux foyers réels, et l’autre, sur laquelle se trouvent les deux courbes des foyers imaginaires, est le second axe de la conique. Donc la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère, est à l’infini ( 1 ). Ces considérations peuvent être utiles dans la théoiie des coniques , ou dans celle des courbes du troisième et du quatrième degré. Revenons à nos coniques biconfocales. Parmi ces courbes, il en existe deux qui méritent d’être remarquées. L’uqe est l’ellipse infiniment aplatie ou la droite qui joint les deux foyers; l’autre est l’hyperbole infiniment aplatie réduite à ses asymptotes coïncidentes.
(1) D'après cela , on pent dire que les coniques biconfocales sont inscrites dans un mkme parallélogramme imaginaire, dont dou* sommets seulement sont réels. - s
«o ■ • ’ MÉLANGES
23. Ce qui précède étant établi , le n° 736 de la Géométrie supérieure donne évidemment ces deux théorèmes : i°. Quand un quadrilatère est circonscrit à deux ou plusieurs coniques , si d'un point on mène les tangentes à ces coniques , et des droites à deux sommets opposés du quadrilatère , ces droites forment deux faisceaux en in solution.
a 0 . Quand deux ou plusieurs coniques sont biconfocales , si d’un point on mène les tangentes à ces courbes, et des droites aux deux foyers communs, toutes ces droites forment deux faisceaux en insolution.
L’une des coniques biconforales aux proposées passe par le point donné, et les deux tangentes qui lui sont relatives se confondent en une seule qui est ainsi l’un des deux rayons doubles de l’involution ( Géométrie supérieure , n° 244). Or celte tangente divise en deux parties égales l’angle formé par l’une des deux droites cpii joignent le point donné h l’un des foyers, et par le prolongement de l’autre de ces rayons vecteurs. Donc l’autre rayon double divise en deux parties égales l’angle même des deux rayons vecteurs, et il est perpendiculaire sur le premier ( Géométrie supérieure , 80 et 244). Or ces deux rayons doubles, qui sont conjugués harmoniques par rapport aux deux tangentes menées du point donné à chacune des deux coniques , sont deux droites conjuguées par rapport à chacune de ces coniques {Géométrie supérieure, 687). Donc on a ce théorème , qui est le théorème A énoncé ci-dessus :
Si, par un point pris arbitrairement , on mène les deux droites qui sont conjuguées à la fois par rapport à deux (ou à plusieurs) coniques biconfocales , ces deux droites sont toujours rectangulaires.
Remarque. — Ne considérons, pour un moment, qu’une seule quelconque de ces coniques. Toutes les droites qui lui sont conjuguées et qui sont issues du point donné, for-
ment deux faisceaux en involution, dans lesquels il existe un système unique de rayons homologues rectangulaires [Géométrie supérieure , 249). On en conclut que tous les systèmes de deux faisceaux semblables , qui sont relatifs à toutes les coniques, sont placés de telle sorte, que leurs systèmes de rayons rectangulaires respectifs coïncident.
24. Je viens de faire voir que ces deux droites conjuguées communes divisent en deux parties égales l’angle et le supplément de l’angle des deux rayons vecteurs issus du point donné, ainsi que l’angle des deux tangentes, confondues en une seule, menées par le point donné à la conique qui passe eu ce point. Donc (• Géométrie supérieure, 247) on en conclut que : *
i°. Les angles sous lesquels on voit deux ou plusieurs coniques biconjocales , d’un point quelconque pris dans leur plan, ont la même bissectrice ou des bissectrices rec~ tangulaires. C’est le théorème B.
2°. Les tangentes à une conique, issues d'un point quelconque d’une seconde conique biconfocale , font, des angles égaux avec la tangente menée en ce point à la première conique, et par conséquent aussi avec les rayons vecteurs qui aboutissent en ce point.
C’est le théorème C , dont j’ai fait usage pour démontrer %
la première proposition du Mémoire sur les arcs d’une conique. . . , etc. Il appartient h M. Poncelet.
3°. Deux coniques biconjocales qui se rencontrent , se coupent toujours à angle droit. C’est le théorème D.
On peut démontrer directement ce dernier théorème, en faisant un raisonnement semblable à celui de l’alinéa autrement de la page 534 de la Géométrie supérieure.
Car si le point donné est le point de rencontre de deux coniques biconfocales , les quatre tangentes ordinaires issues de ce point, et menées à deux coniques , se réduisent à deux, qui sont, par conséquent, les rayons doubles de
Tinvolution mentionnée plus haut , «il divisent harmoniquement l’angle des rayons vecteurs qui aboutissent à ce point. Or l'une quelconque de ces tangentes divise en deux parties égales le supplément de l’angle formé par les deux rayons vecteurs; donc ( Géométrie supérieure , 80) l’autre rayon double, c’est-à-dire l’autre tangente, est perpendiculaire sur la première, ce qui démoutre le théorème D.
23. Soient données trois coniques biconfocales E , E', E". D’un point quelconque P , menons deux tangentes A , A' à la première, et deux tangentes M, N aux deux autres respectivement; soient encore B, B' les droites menées du point P aux deux foyers. Par le point P, menons une transversale L perpendiculaire à l’axç commun de ces coniques sur lequel se trouvent les foyers , et soit it un point quelconque de celte droite; menons les tangentes et droites analogues , et désignons-les par les lettres a , oé ; p , v ; j5 , (s'. Le n° 737 de la Géométrie supérieure donne les équations
sin ( M , A ) . sin ( M , A' ) sin ( L , A ) . sin ( L , A' )
sin ( M ,~B ) . sin(M, B'] 1 sîn(L, B) . sin(L,B')
sin(u, a) . sin(u, a') sin (L , a) . sin f L , a')
— — — v 1 . . - 1 l • i ^ — — const •
sin(p, ^ . sin (fi, £') ’ sin(L,p) .sin(L, p') ’’
et, relativement aux coniques E et E",
sin (N , A) . sin (N, A' ) sin (L, A) . sin (L, A' ) sin (N, B) . sin (N, B') ’ sin(L, B ) . sin(L, B') sin ( v , a ) . sin ( v , a' ) sin ( L , a ) . sin ( L , x ' ) sm(v,p) . sin(v, p') " sin(L, p) . sjn(L, p') const - »
quel que soit le point P pris sur la droite L. Si , de plus , on suppose que le point r. est pris à l’infini sur L , on pourra déplacer le point P sur des droites parallèles à L, c’est-àdire le placer en un point quelconque , sans altérer la valeur du rapport diviseur du premier membre de chacune des deux équations , puisque la droite L n’entre que par sa direction dans les différents facteurs de ce rapport. On
aura donc enfin l’équation
sin(M, A) . sin(M, A') sio(M,B) . sin(M, B') . •
sin(N, A) . sin(N, A') sin(N, B) . sin(N, B')’
dans laquelle la constante X a pour valeur
sinfp, g) . sinfft, g') sin(ft, ft) . sin(p, ft') sin ( v, a) . sin (v, a') * sin (v, p) . sin (v, f)')
Désignons par F m , F 'm'; F n , F' ri 1 les distances des foyers F et F' aux tangentes M et N respectivement ; on a les quatre égalités
donc
F « = PF . sin (M , B); F'm' = P F' . sin (M , B'); F/j = PF . sin (N, B); F' n' = P F\ sin ( N, B');
sin(M, A) . sin(M, A')- Fin . F ' m
sin (N, A) . sin ( N7À' j “ F/j . F' n'
Or on sait que , dans toute conique , le produit F m . F'm' ou Fn.F'rc' est constant et égal au carré b * ou £'* du demipetit axe. (Voir, par exemple, pour la démonstration de cette propriété , le chapitre III relatif au* foyers des coniques , et les développements que j’en donne. )
Donc enfin on a
,,, sin ( M , A ) . sin ( M , A' ) , b’
(3) sin(N,A).sin(N,A ') = 1 * ï* = consL »'
c'est le théorème F.
L’expression de la constante X, équation (2), peut être mise sous la forme de rapports anharmoniques; donc, si l’on coupe le faisceau de droites par une transversale parallèle au grand axe commun des coniques , et , par conséquent , perpendiculaire à leur commune direction L (L a été prise parallèle au petit axe) , on aura, pour la valeur de X , l’expression
en désignant par A , a et «' les demi-grands axes des trois conicpies E, E', E". ( Géométrie supérieure , n° 7 , page 8. ) Ainsi la constante de l'équation (3) est finalement égale , A’ — a'
Or la distanccdechacune desdirectrices relatives aumème
foyer, au centre commun des trois courbes, est, comme on
Sait, — » — 5 — ? c étant égala y/« a — b *: donc la con-
stante est égale à — > en désignant par 3 et 3' les distances
de la directrice de E aux directrices de E’ et E ff respectivement. C’est ce que nous avions déjà tVouvé par la transformation polaire. '
Cohollaihe. — Si le point P est pris sur la première conique E, les droites A et A', se confondent, et l’équation (3) devient
sin ( M , A )
sin(N, A)
const.
C’est le théorème G, qui va nous conduire directement à la démonstration de celui .que j’avais principalement en vue dansées développements.
26. Soient actuellement deux coniques biconfocales E, E' ( Jig . 8); si, par deux points M, N de l’une, on mène à l’autre quatre tangentes A , B et A', B', ces quatre tangentes formeront un quadrilatère MXNY , et il s’agit de démontrer que ce quadrilatère est toujours circonscriptible au cercle.
Concevons qu’une troisième conique biconfocalc aux proposées soit tangente à. la droite O qui joint les deux points M et N. Si l’on mène les tangentes I etl'en M et en N à la conique E, on aura, d’après le corollaire précédent ,
sin (A, I) sin(A, I' )
sin ( 0 , 1) — sin ( 0 , 1' ) ’
qu’on peut écrire
sin(A,I) sin(0, 1)
sin(A', I') sin (O
Le triangle TMN donne d'abord
sin (O, I) TN .
sin ( O , I' ) ~ TM’
les triangles- MTX , NTX donnent ensuite sin(A , I ) TX ^ sin(AM')
sinMXT
TM
et
sinNXT
TX
TN
donc
sin ( A , I ) sin (A', I')
TN sinMXT TM " sinNXT sin ( A, I)
Egalant cette valeur de — ~~ à celle obtenue plus
° sin(A,l) r
baut, il vient
sinMXT
sin NXT ~ ‘ ’
ce qui prouve l’égalité des angles MXT et NXT.
On démontrerait dé même, en considérant les tangentesB et B', que les angles MYT, NYT sont égayx, et l’on sait d’ailleurs (théorème C) que les angles TMX et TNX sont égaux, respectivement, à leurs adjacents TMY , TNY. Donc le point de concours T des tangentes I et I' est le centre d’un cercle inscrit au quadrilatère MXNY.
27 . Soient E, E' (fig. 9) deux coniques biconfocales , et A, B, A', B' quatre tangentes à ces courbes, issues, d’un même point P et telles, que l’alngle (A, A') soit droit. Soient L, L' la tangente et la normale à la conique bieonfocale aux proposées , qui passe par le point P, on a
angle (B , B') =fc ( A, A') - ( A , B') -+- ( A', B).
Or, d’après le théorème C , 011 a
(L,A) = (L,B). et (L, B') = (L, A') .
■&M -L -t -JA t
86 • t MÉLANGES
donc - . > .
c’est-à-dire >
et, par conséquent,
( B , B') = ( A , A') = go degrés.
C’est la première partie du théorème E.
Les six droites L, L', A , A', 15, B' forment un faisceau en involution ( Géométrie supérieure, 246). On peut exprimer l’involution par la formule du n°252, 2° , qui donne ici '
sin(A, B) . sin(A,B')
• sin(A',B') . sin(A', B)
Or les angles (A , B') et (À', B) sont égaux; donc on a
sin(À, B) sin(A', B')
= const.
C’est la troisième partie du théorème E*
Cela posé, on peut démontrer directement, ou, pour abréger, déduise du n° 2ol réciproquement (page 526) , par la théorie des polaires réciproques , que :
Si deux coniques biconfocales sont vues d’un point variable "P sous des angles (A, B), (A', B') dont les sinus soient dans un rapport constant, les cordes a a' , b V, qui joignent inversement les points de contact , sont tangentes à une troisième conique biconfocale , qui reste la même’ quand le point P change de position.
Or nous tenons de voir que, dans le cas actuel, le rapport
sin j A , B ) constant. Donc la deuxième partie du tliéosin (A', B ) 1
rème E est démontrée. Etc.
28. Je ne pousserai pas plus loin l’élude des propriétés des coniques biconfocales , afin de ne pas être entraîné dans des développements étrangers à l’objet de ce chapitre. Je
désirais surtout donner une démonstration directe du théorème relatif au « quadrilatère circonscriptible au cercle. . . », et cet objet me semble complètement rempli par ce ‘ qui précède. 11 en résulte que les quatre premières propositions du Mémoire de M. Chasles sur les « ar?s d’une conique dont la différence est rectifiable», propositions d’un ordre relevé, peuvent se démontrer avec le seul secours des méthodes élémentaires et purement géométriques, qui sont exposées dans la première section du Traité de ' Géométrie supérieure. Cet exemple, assez remarquable, vient à l’appui de cette assertion de l’auteur (page 269 ) que « ces méthodes fécondes forment les bases naturelles de la Géométrie». En ell’et, une science peut être regardée comme réduite à ses vrais principes, quand elle est assise sur un petit nombre de propositions claires et faciles, dont l'application s’étend indistinctement à toutes les questions qu!elle embrasse, quel que soit l'ordre des difficultés à vaincre, et qui établissent entre les diverses théories dont cette science se compose, des liens qui leur prêtent une clarté et * .
un appui mutuels. C’est , par exemple , ce qui arrive ici entre la théorie des cercles, on plus généralement des coniques qui ont les mêmes sécantes idéales, et la théorie des * coniques décrites des mêmes foyers.
Le travail qui précède pourrait aussi contribuer, s’il en était besoin , à faire apprécier la justesse de cette autre pensée exprimée à la fin du Discours d’ introduction :
« Une vérité est-elle connue, que la Géométrie en cherche » la démonstration par ses propres moyens ; soyez sûrs » que, dans cette recherche, elle rencontrera et fera con- » naître diverses autres propriétés qui se rattachent au s » sujet, l’éclairent et le complètent. »
Ici la recherche d’une seule démonstration nous a fait , sinon découvrir, du moins rencontrer plusieurs propriétés remarquables des coniques biconfocales , propriétés inri- * ( .
dénies, il esl vrai , mais qui se rattachent au sujet, et qui n’ont pu échapper à l’investigation géométrique , taudis que l’analyse, dans la rapidité de ses transformations, eût peut-être glissé à côté d’elles sans s’en préoccuper, ou plutôt sans le? apercevoir.
Mais il est une autre remarque que je me permettrai de faire au sujet du Traite de Géométrie supérieure. Quelques* unes des théories accessoires exposées dans cet ouvrage, et qui sont des expressions diverses du principe de dualité , telles que la théorie des polaires réciproques et celle des figures corrélatives, permettent de transformer des vérités connues en d’autres vérités d’un genre diffèrent ; on en a vu plus haut un assez curieux exemple. Cette grande loi de dualité a donc subitement enrichi la science d’une foule de théorèmes inconnus jusque-là, et de boiteuse que la Géométrie était en quelque sorte, elle l’a rendue complète, en rétablissant un équilibre impartial entre les deux ordres, de spéculations quelle embrasse. Cependant cette loi, qui a si bien rempli ce but d’expansion et de généralisation , laissait à désirer au point de vue de la perfection de la doctrine. Il restait encore à remonter à sa source première et à découvrir les principes sur lesquels elle repose. C’est là le but que s’est proposé, sans doute, l’auteur de la Géométrie ' supérieure. Ce but est atteint, et il réalise un progrès marqué dans la culture de la science. Grâce à ces principes faciles, qui s’appliquent avec une corrélation parfaite 'aux points ou aux droites ('pour ne parler ici que de la Géométrie à deux dimensions) , les théories géométriques qui se rapportent à ces deux ordres de spéculations marchent d’un pas égal , et se développent parallèlement avec la même sirnpli- • cité et la même rigueur, sans rien s’emprunter mutuelle-r ment, comme cela arrive aux méthodes de transformations } et pourtant, ce qui est très-remarquable , en employant presque toujours le même tour de raisonnement , ainsi que
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le lecteur peut le remarquer à chaque page de la Géométrie supérieure, et dans cc petit écrit lui-même comparé au chapitre XXXI de cet ouvrage.
Suite <ies propriétés des arcs associés dans les coniques planes.
29. Après cette digression, dont l’intérêt fera, j’espère, excuser la longueur, je reviens aux théorèmes du Mémoire de M. Cliasles.
„ Théorème V. — Si l’on divise Un arc en m arcs assosocics , c'est-à-dire en m arcs ayant deux à deux des différences rectifiables ou, cc qui revient au même, en m arcs dont chacun ait avec la m'*'"' partie de l'arc proposé une différence rectifiable, les points de division sont tels, que les tangentes à la courbe en ces points forment la portion de polygone de (m-f-j) côtés qui a le périmètre minimum, parmi toutes les portions de polygone du même nombre de côtés circonscriptibles à l'arc proposé.
Théorème VI. — Cette même portion de polygone a ses soinmets situés sur une seconde conique décrite des memes foyers que la proposée, et a, par rapport à cette courbe, un péiimètrc maximum , c'est-à-dire que de toutes les portions de polygones de m sommets inscriptibles dans le • meme arc de la seconde conique, cette portion de polygone est celle qui a le plus grand contour ou périmètre.
Je vais démontrer ces deux théorèmes à la fois.
Supposons qu’un arc af d’une conique E soit divisé en m arcs semblables contigus ub , bc, cd , de, cf ( m sera égal à 5 par exemple), on a les égalités
il b — - bc = D, bc — cd — D', cd — de — D", de — cf — D",
D, D', D",... désignant certaines droites. ^
En ajoutant ccs égalités deux à deux, 011 en conclut que . deux quelconques de ces arcs on t cuire eux une différence
rectifiable. On a, par exemple,
ab — trf=D+D’ = J,
et ainsi des autres, comparés deux à deux. Si l’on veut comparer un de ces arcs, tels que bc, à l’arc total ef, on. écrira d’abord
ab — bc = D , bc — cil = D', bc — de — 8', bc — cf — 3"; d’où l’on tire
ab bc — 2 bc = D, ab -+- bc -f- cd — 3 bc = D — D', ab -+- bc cd -+- de — 4 bc = D — D' — 3',
ab -+- bc -t- cd de +- ef — 5 bc — D — D' — 3' — 3",
ou bien
af — 5bc — à et — bc = A'.
Ainsi l’on peut dire, comme dans l’énoncé du théorème V, que les m arcs semblables , qui divisent l’arc af, ont deux à deux des différences rectifiables , et que chacun d eux a aussi une différence rectifiable avec la m iime partie de l’arc proposé.
Cela posé, considérons deux arcs consécutifs ab, bc ; les sommets A, 11 de leurs angles circonscrits sont, d’après le * théorème I, situés sur une seconde conique biconfocalc E'.
Le sommet C de l’angle circonscrit à l’arc cd est, par la même raison , situé sur la même conique bironfocale que le sommet B, c’est-à-dire sur E’, et il en est de même de tous les autres sommets I), E, etc.
Donc la portion de polygone de (m -t- 1 ) côtés , circonscrite à l’arc proposé, a tous ses sommets situés sur une seconde conique décrite des mêmes foyers que la proposée. -
Pour compléter la démonstration des théorèmes V et \ I, il n’y a plus qu’à prouver que « cette portion de polygone » a un péri mètre minimum parmi toutes les portions de
» polygone de »b+i côtés circonscriptiblcs à l’arc proposé, » et maximum parmi toutes les portions de polygones de m » sommets inscriptibles dans le même arc de la seconde. » ' Or ces deux propriétés sont des conséquences immédiates de ce que les portions de polygones sont comprises entre deux coniques liomofocales. La première, celle du minimum , résulte du corollaire du théorème IV, en vertu duquel la normale à la conique intérieure, menée par le point de contact de chacun des côtés du polygone circonscrit , concourt au même point que les bissectrices des angles adjacents à ce côté, ce qui est la condition caractéristique des polygones de périmètre minimum circonscrits à une courbe quelconque; et la seconde, celle du maximum , résulte de ce qufc deux côtés consécutifs sont également inclinés sur la conique à laquelle ils sont inscrits , ce qui est , pour les polygones inscrits à une courbe quelconque, la condition caractéristique du maximum .
30. On peut remarquer que chacun des arcs ab, bc, cri,... a une différence rectifiable avec la m' rmr partie de l’arc proposé af\ donc, parmi l’infinité des angles circonscrits à la conique E et qui ont leurs sommets sur la conique E', il doit en exister au moins un qui embrasse précisément sur la conique E un arc égal à cette m'*"” partie (théorème I), et. cela étant, la symétrie de la figure fait qu’il en existe un second. flf
Soit a cet arc égal à — » et soient r, r' les deux côtés de m
l’angle qui lui est circonscrit. On a, par le théorème I, la suite d’égalités
(nA-t-ôA) — (t4-t') = aè — a,
(è B 4- cB) — (t + t') = bc — a,
(c C -t- rfC) — ( r -f- r.' ) = cil — a ,
et ainsi de suite. Ajoutant toutes ces équations et désignant par P le périmètre du polygone circonscrit a ABCDK/', il
vient
P — m (r -t- r') — af — ma. — Q.
Supposons qu’un autre arc a'f soit semblable à l’arc af, et qu’il se compose, comme celui-ci , de m arcs semblables, l’arc a'f aura une différence rectifiable avec l’arc a (théorème V), et par conséquent (théorème I) les sommets des angles circonscrits aux m arcs semblables qui le composent sont situés, comme les autres, sur la conique biconfocalc E'. On aura donc, en désignant par P' le périmètre de ce nouveau polygone,
P' — m (t -4- t') — a’f — ma ;
donc, en retranchant la seconde équation de la première, il vient
P — P' = af — a'f.
Cette équation est indépendante du nombre m des divisions de chaque arc; donc on peut énoncer ce théorème, qui est le huitième du Mémoire de M. Chasles :
Théorème VII. — Quand 'doux arcs d'une section conique sont associés, si on leur circonscrit deux portions de polygones de m côtés dont les sommets s'appuient sur une même conique biconfocale à la proposée, et qui sont, par conséquent, de périmètre minimum , la différence des deux périmètres sera toujours la même, quel que soit le nombre des côtés, et sera égale à la différence des deux arcs. -s
31 . Les théorèmes V et VI ont fait voir que « la même » portion de polygone, circonscrite à un arc d’une couique » et inscrite dans un arc d’une seconde conique homofocale, » jouit tout à la fois, quant à'son périmètre, des deux pro- » priélés de minimum et de maximum , de même qu’une » portion de polygone régulier circonscrite à un arc de » cercle cl inscrite dans un arc dé cercle concentrique ; de ». sorte que, dans ces questions dé périmètres, ce sont des
DE GÉOMÉTRIE PURE. g3
» sections coniques décrites des mômes foyers, qui corres- » pondent à des cercles concentriques.
» Au contraire, si ce sont les surfaces des polygones que » l’on compare, au lieu des périmètres, ce seront des coni- » ques concentriques et homothétiques qui correspondront » aux cercles, » c’est-à-dire que :
Théorème VIII. — Si une portion de polygone est circonscrite à un arc de section conique et inscrite dans un autre arc de section conique, concentrique et homothétique à la première, celte portion de polygone aura une surface minimum par rapport à toute autre portion de polygone de même nombre de côtés circonscrite au premier arc, et maximum par rapport à toute autre portion de polygone inscrite dans le second arc.
En elfet, circonscrivons à un cercle une portion de polygone qui soit en même temps inscrite à un second cercle concentrique. Cette portion de polygone a, comme ou sait, une surface minimum par rapport à celle de toute autre portion de polygone, du même nombre de côtés, circonscrite au même arc, et maximum par rapport à celle de tout autre polygone, du même nombre de sommets, inscrit dans le même arc du cercle extérieur.
Faisons une déformation homographique de la figuré, en faisant que la droite à l’infini reste à l’infini ( Géométrie supérieure, n°534).On obtiendra deux coniques qui auront comme les deux cercles ( Géométrie supérieure, n° 719) deux points communs imaginaires à l’infini, c’est-à-dire qui seront concentriques et homothétiques ( Géométrie supérieure, n° 472). La surface de chaque polygone déformé est dans un rapport constant avec celle du polygone d’où il -dérive ( Géométrie supérieure, n° 539). Donc elle jouit des mêmes propriétés- de minimum et de maximum que cette dernière. Ainsi le théorème VII est démontré.
g4 MÉLANGES
32. Passons au théorème X. Si l’on conçoit nue ellipse divisée en un certain nombre m d'arcs associés t et le polygone circonscrit, formé par les tangentes aux points de division,
i°. Les sommets de ce polygone seront tous situés sur une seconde ellipse décrite des mêmes foyers que la proposée.
Cela résulte du théorème V démontré plus haut. Ajoutons que celte ellipse passe par le sommet de l’angle qui intercepte sur l’ellipse l’arc a. dont la longueur est la m’ ime partie du périmètre de cette ellipse.
2 °. Pour un autre polygone pareil, répondant à un autre point de départ des divisions de .l’ellipse , la seconde courbe sera toujours la même.
Car cette courbe, qui est nécessairement une ellipse biconfocale à la-proposée, passe, comme la précédente, par le sommet de l’angle circonscrit à l’arc a, et se confond par conséquent avec elle.
3°. Ces polygones auront tous le mémo périmètre.
En effet, deux de ces polygones interceptent chacun, par hypothèse, le périmètre complet de l’ellipse; on peut dire qu'ils sont circonscrits à des arcs associés, puisque la différence de ces arcs est nulle. Le théorème VIII est donc applicable à ces polygones , et il prouve que la différence de leurs périmètres est nulle.
4°. Ce périmètre est minimum par rapport à tous autres polygones du même nombre de côtés circonscrits à l’ellipse.
5°. Et il est maximum par rapport à tous autres polygones du même, nombre de côtés inscrits dans la seconde ellipse.
Ces deux paragraphes sont une conséquence évidente des théorèmes V et VI.
Ce théorème ne s’applique pas seulement aux polygones
DE GÉOMÉTRIE PURE. q5
convexes formés par les tangentes aux points de division de la courbe, prises consécutivement pour cités 5 il a lieu poulies polygones étoilés de même espèce, formés par ces mêmes tangentes dont 011 prend les points de concours de trois en trois, de quatre en quatre, etc. , pour sommets de polygone.
Cela revient à dire que l’ellipse, qui est divisée en ni arcs associés ai, bc, cd , c/e, ef consécutifs, peut aussi être regardée comme étant divisée en m autres ares asssociés consécutifs ne, bd, ce, df, ea , ou bien en prenant les sommets de quatre en quatre ad, be, cf, da, eb, fc , ce qui est vrai ; car les arcs primitifs étant associés, on a les égalités
nb — cd -= D , bc — de = D\ cd — cf = D", etc.;
d’où l’on tire
(nb -+• bc) — (bc -{- cd) = D, (bc -{-cd) — (cd -{-de) = D', etc , ou bien
(ac — bd)— D, (bd — ce) = D', etc.
Seulement il est clair que les sommets de ces nouveaux polygones ne sé trouvent plus sur l’ellipse E' ; ils sont tous inscrits à des ellipses différentes E", Ë etc., qui sontbiconfocales à la proposée.
33. Théorème XI. — Réciproquement , quand un polygone de m côtés est inscrit à une ellipse et en même temps circonscrit à une seconde ellipse décrite des mêmes foyers que la première , ce polygone est , par rapport à la première courbe, un polygone inscrit de périmètre maximum , et par rapport, à la seconde , un polygone circonscrit de périmètre minimum.
Ses m côtés marquent sur l'ellipse inscrite les divisions de cette courbe en m arcs ayant deux à deux des différences rectifiables .
Une infinité d’autres polygones peuvent être inscrits dans la première courbe et circonscrits en même temps à la seconde.
Tous ccs polygones ont le même périmètre.
Le premier alinéa de ce théorème est une conséquence des théorèmes V et VI; le second résulte immédiatement du théorème I, et le troisième n’est qu’une expression différente du théorème suivant, démontré au n° 566 du Traité des propriétés projectives de M. Poncelet, page 36 1 :
Théorème. — Quand un polygone quelconque est à la fois inscrit à une section conique et circonscrit à une autre, il en existe une infinité de semblables qui jouissent de la même propriété à l'égard des deux courbes, ou plutôt tous ceux qu’on essayerait de décrire à volonté, d’après ces conditions, se fermeraient d’ eux-mêmes sur ces cou f es, •
Ce théorème auxiliaire peut également se déduire, par une transformation polaire, de celui qui est énoncé au corollaire du n° 758 de la Géométrie supérieure, page 53a. Il suffit, dans le cas actuel , de supposer que toutes les coniques se réduisent à deux.
Le dernier alinéa du théorème XI est une conséquence du théorème VIII.
On pourrait ajouter, au sujet de ccs polygones, et eu s’appuyant sur les n os 570 et 572 de l’ouvrage déjà cité de •RI. Poncelet, que s’ils ont un nombre pair de sommets, toutes les diagonales qui joignent dans chacun d’eux les sommets respectivement opposés se croisent au centre commun des deux ellipses. Passons au théorème suivant :
34. Théorème XII. — Soit ABCD. . ., un polygone quelconque circonscrit à une ellipse; par chacun de ses sommets faisons passer une conique biconfocale à la proprosée : il résulte du théorème auxiliaire cité plus haut, qu’on pourra circonscrire à l’ellipse E une infinité d’autres polygones , dont les sommets s’appuieront sur les ellipses E', E", E"', etc. Prenons, dans deux de ccs polygones, deux angles B, B', appuyés sur une même conique F/; les
arcs interceptes sur E par leurs côtés respectifs sont associés (théorème I) ; donc
. Tous ces polygones sont tels, que les arcs compris • entre les angles rie chacun d'eux étant comparés un à un aux arcs compris entre les angles du premier, donneront des différences rectifiables.
Tous ces polygones auront le même périmètre, c’est-àdire que la somme de leurs côtés formera toujours une meme longueur.
Prenons, en effet, deux quelconques d’entre eux. Le périmètre du premi er, moins le périmètre du second, est égal ( théorème I ) à la somme des arcs interceptés par les angles du premier, c’est-à-dire est égal à l’ellipse entière moins la somme des arcs interceptés par les angles du second, c’est à-dire encore moins l’ellipse entière. Donc la différence des périmètres est nulle.
Dans la construction d’un nouveau polygone, il n’est pas nécessaire que les arcs sous-tendus par ses angles aient entre eux le même ordre que les arcs relatifs au premier polygone, auxquels ils correspondent. Car il résulte de la note de la page 53a de la Géométrie supérieure, transformée par la méthode des polaires réciproques, que ces polygones se formeront toujours, quelles que soient les coni-ques E', E", etc. , qu’on attribuera aux sommets consécutifs., un à un , respectivement.
Ajoutons encore que le périmètre constant de tous ces polygones est maximum par rapport à celui de tout autre polygone de m côtés, non tangents à l’ellipse E, dont les sommets s’appuieraient respectivement sur les m ellipses E', E", etc. C’est une conséquence du théorème VI.
35. Les deux théorèmes XIII et XIV, qui terminent le Mémoire, sont une conséquence évidente de ceux qui précèdent, en y joignant le théorème C que j’ai démontré plus haut, et qui l’est du reste dans le Traité de M. Pon
celet, page 277. Il est donc inutile d’entrer à, leur égard
dans aucun detail. Ces théorèmes sont ainsi conçus :
Théorème XIII. — Quand un rayon lumineux parti d’un point d’une ellipse se réfléchit sur la courbe et rerient au même point apres un certain nombre de réflexions, le polygone formé par les directions consécutives de ce rayon a toujours le même périmètre , quel qu’ait été sur la courbe son point de départ, le nombre des réflexions étant toujours Je même.
Théorème XIV. — Plus généralement, m ellipses étant décrites des mêmes foyers, si un rayon parti d’un point de l' une. se réfléchit successivement sur les autres et revient au même point , le polygone formé par les m directions du rayon a toujours le même périmètre , quel qu’ait été le point de départ du rayon.
Ce périmètre est maximum par rapport à tous les autres polygones de m côtés, dont les sommets seraient situés respectivement sur les m ellipses.
Plusieurs ellipses peuvent se confondre. Une ellipse peut avoir son petit axe nul et se réduire au segment rectiligne compris entre les deux foyers. Toutes les tan-? génies à cette ellipse seront des droites passant par ces points. C’est le cas représenté dans la flg, 10. Le polygone est abcrlefghiha.
Propriétés des arcs associés dans les coniques sphériques.
36 . La plupart des théorèmes démontrés dans ce Mémoire s’appliquent aux coniques sphériques , ainsi que M. Chasles en fait expressément la remarque. Cette analogie, qui n’est pas difficile à. établir, demande cependant quelques explications.
En premier lieu, il est évident que la démonstration du théorème I, dans lequel on substituera des arcs de grand cercle aux simples lignes droites, subsistera sur la sphère,
r>K GtiOMKTRlfc PURF.. 99
si la proposition do M. Poncelet, qui on fait la base, est vraie pour les coniques sphériques. Or c’est précisément colle qui fait l’objet du n° 817 de la Géométrie supérieure, page 5y3 ; car cotte dernière peut s’énoncer ainsi qu’il suit :
Étant donnés deux arcs tangents à une conique sphérique, si, par l’un de leurs points de rencontre, on mène deux arcs passant par les deux foyers de la conique , l'angle des deux arcs tangents et l’angle des deux arcs vecteurs ont le même arc bissecteur.
37. D’où l’on conclut que les deux arcs tangents sont également inclinés sur l'arc mené, par leur point de concours, tangentiellement à la conique sphérique Jiomofocale à la proposée et passant par ce point.
38. D'après cela , le théorème I subsiste pour les coniques sphériques, avec cette seule distinction que les arcs associés ont leur différence assignable en arc do grand cercle, au lieu d’être assignable en ligne droite.
Le théorème II s’y applique par conséquent aussi.
Quant au théorème III, relatif au quadrilatère circonscriptible, il est démontré n° 822, page 5y8, de la Géométrie supérieure, et, par conséquent, il donne lieu au théorème IV, comme dans les coniques planes.
39. Les théorèmes V et VI s’appliquent aux coniques sphériques, par des raisonnements identiques à ceux que j’ai employés. Quaut aux propriétés de maximum cl de minimum, elles ont également lieu pour les polygones sphériques que l’on considère dans ces deux théorèmes
. par les mêmes motifs. En effet, soit abed. . . un de ces polygones; puisque tous les sommets a, b , c, d, etc., sont situés sur une conique sphérique C' r homofocale à celle C que le polygone enveloppe, deux côtés consécutifs quelconques, tels que ai, ha , sont également inclinés sur l’are langent en b à la conique C' (37). Or c’cst là précisément
loo MÉLANGES
la propriété caractéristique des polygones à périmètre maximum inscrits dans une courbe plane ou sphérique quelconque, ainsi qu’on le démontre très-simplement dans plusieurs ouvrages de Géométrie. La propriété de minimum , par rapport à la conique inscrite, résulte du théorème IV. Car, d’après celle proposition, l’arc horrnal à la conique C au point de contact d’un côté quelconque du polygone, de bc par exemple, passe par le point de concours des arcs tangents, en b et c, à la couique C', lieu des sommets a, b, c, cl, etc., puisque ce point de concours n’est autre chose que le centre du petit cercle inscrit dans le triangle sphérique formé par les côtés successifs ab, bc, cd du polygone.
Or c’est là précisément la propriété caractéristique des polygones à périmètre minimum, circonscrits à une courbe donnée , plane ou sphérique.
40. Des théorèmes qui précèdent découlent naturellement les théorèmes VIII, X, XI et XII, pour les coniques sphériques comme pour les coniques planes. On pourrait même dire cpxe les propositions XIII et XIV sont égale- r ment vraies pour les ellipses sphériques, en supposant toutefois que le rayon lumineux se meuve dans un milieu qui infléchisse sa trajectoire suivant un arc de grand cercle de la sphère sur laquelle ces ellipses sont décrites.
41. Toutes les propriétés qui viennent, d’être démontrées en engendrent de nouvelles, à cause de la dualité constante à laquelle sont soumises les propositions sphériques.
On sait qu’à des coniques sphériques liomofocales correspondent, sur la sphère, des coniques homoey cliques, qui sont supplémentaires des premières. Le théorème I devient celui-ci :
Quand deux ellipses sphériques, dont l’une enveloppe
loi
l’autre, ont les mêmes arcs cycliques, le segment qu’un arc de grand cercle tangent à la conique interne forme dans la conique externe, a toujours la même surface. Ce théorème est démontré n° 813 de la Géométrie supérieure, page 571 .
42. Réciproquement : Si le segment qu’un arc de grand cercle, tangent à une conique sphérique, forme dans une seconde conique qui enveloppe la première, a toujours la meme surface, cette seconde conique est liomo cyclique, à la première.
En effet, supposons que cela n’ait pas lieu. Soit ah l’un des arcs tangents à la conique C. Décrivons la conique 2 tangente à l’arc ah et homocyclique à la conique extérieure C'; cette conique est unique et déterminée.
Considérons actuellement quatre autres arcs tangents à la conique Ç. Par suite de la condition à laquelle ils sont soumis par l’énoncé de la question , et en vertu du théorème précédent (41), ces arcs seront tangents à Ja conique 2; les coniques C et 2 ont cinq arcs tangents communs; donc elles sont une seule et même courbe. Ainsi le théorème est démontré.
43. Il résulte de ces deux propositions ce fait remarquable que , à une différence, d'arcs assignables en arcs de cercle, correspond une égalité de surfaces dans la conique supplémentaire.
44. Le théorème II (3 e du Mémoire de M. Chasles) a pour correspondant celui-ci :
Deux arcs tangents à une conique sphérique coupent une seconde conique homocyclique à la première, en quatre points situés sur un petit cercle qui a pour centre le pôle de l’arc de grand cercle qui passe par les points de contact des deux arcs tangents.
i02 MÉLANGES
On on trouve la démonstration, sous un autre énoncé, au n° 812 de la Géométrie supérieure.
45. Si les deux arcs tangents à la première conique ont une extrémité commune sur la seconde, le triangle sphérique qu ils déterminent sur celle-ci est inscriptible dans un petit cercle qui lui est tangent en ce point.
Car ce triangle n’est autre chose que le quadrilatère du n ü 44, dans lequel deux sommets sont infiniment voisins l’un de l’autre.
On peut remarquer l’analogie de ces deux dernières propositions avec celle qui fait l’objet du n° 764 de la Géométrie supérieure {voir la note au bas de la page 53y ) .
Celle du n° 45 correspond au théorème IV .
46. Si l on divise un arc d’une conique sphérique eu m arcs par des cordes qui retranchent des segments de surfaces égales, on forme ainsi une portion de polygone sphérique circonscrit à une seconde conique homocyclique à la première.
Cette portion de polygone a une surface maximum par rapport à toute autre portion de polygone de même nombre de côtés iuscute dans le premier arc, et minimum par rapport à toute autre portion de polygone circonscrite au second arc, cest-à-dire à l’arc intercepté dans la conique inscrite.
Cette proposition, qui correspond aux théorèmes V et VI , est facile à démontrer.
La première partie résulte immédiatement du théorème ci-dessus (42); et la seconde est une conséquence de ce que chaque côté du polygone touche, par sou point milieu , la conique intérieure ( Géométrie supérieure , n° 801). Or c’est précisément la propriété caractéristique des polygones de surface minimum et maximum qui sont à la fois inscrits et circonscrits à deux courbes données, Ainsi le théorème est démontré. • ■ .
DE GÉOMÉTRIE PURE. io3
47. Le principe sur lequel repose ce dernier raisonnement, savoir : que chaque côté du polygone touche, par son point milieu, la conique intérieure , peut aussi se conclure d’un principe général démontré par M. Ch. Dupin, dans son Mémoire sur la stabilité des corps flottants , et qui est ainsi conçu : « Le plan de llottaison d’un corps » flottant louche la surface enveloppe des plans de flot- » taison ou un point qui est toujours le centre de gravité v de ce plan , quelle que soit la position d’équilibre du » corps que l’on considère. » .
En effet, imaginons la portion de cône qui a son sommet au centre de la sphère et pour base la conique sphérique extérieure. On peut le regarder comme un corps flottant ; les plans menés par le centre de la sphère et par les cordas du polygone, retranchent dans ce cône des volumes égaux, puisque les cordes retranchent, par hypothèse, des segments égaux sur la conique qui lui sert de base. Ainsi ces plans peuvent être regardés comme étant des plans de flottaison, et la surface enveloppe de ces plans est le cône qui a pour base la cbnique intérieure.
Décrivons une' sphère concentrique à la première et infiniment voisine; elle retranchera, dés volumes successifs dont nous venons de parler, des parties équivalentes; donc , les onglets restants sont aussi tous de même volume. Le plan de flottaison de chacun d’eux se réduit à une espèce de trapèze, mi-partie sphérique et mi-partie rectiligne, dont deux côtés sont des portions égales infiniment petites . de deux rayons de la sphère, et dont les deux autres côtés sont , l’un la corde ab que l’on considère dans le polygone , et l’autre la corde semblable a'b' du polygone situé sur la sphère concentrique. La base aba'b' de l’onglet touche la surface annulaire retranchée par la sphère concentrique dans le çône intérieur (qui est la surface enveloppe des flottaisons) , en un point qui est son centre de
gravité $ donc le côté ab touche la conique intérieure par son point milieu qui est infiniment voisin de ce centre de gravité., c. q. f. d.
48. Si l’on conçoit une ellipse sphérique divisée en un certain nombre d’arcs tels, que les arcs de grand cercle qui joignent leurs extrémités, de proche en proche, retranchent de la surface de l’ellipse des segments égaux :
i°. Tous les côtés du polygone sphérique ainsi déterminé seront tangents à une même ellipse homocyclique à la première.
Ceci résulte immédiatement de (42).
2 °. On pourra décrire une infinité d’autres polygones, inscrits à l'une de ces ellipses et circonscrits à l' autre, qui se fermeront comme le premier.
Car si l’on forme la figure supplémentaire, on aura deux ellipses homofocales auxquelles le premier polygone réciproque sera inscrit et. circonscrit, respectivement, et qui en admettront une infinité d’autres de même nombre de côtés, satisfaisant à la même condition (40). A ces polygones correspondront, dans la figure primitive, ceux que nous considérons ; d’où l’on voit que ceux-ci se fermeront comme le font leurs supplémentaires.
Ainsi l’ellipse donnée pourra être divisée comme elle l’a été une première fois, d’une infinité de manières différentes.
3°. La surface de tous ces polygones est la même.
Car elle est égale à la surface de l’ellipse diminuée de m fois la surface d’un des segments égaux retranchés dans cette surface par l’un quelconque des côtés de ces polygones.
4°. Cette surface est maximum par rapport à tous autres polygones du mémo nombre de côtés inscrits à l’ellip se donnée.
5°. Et elle est minimum par rapport à tous autres
DF. GÉOMÉTRIE PURE. io5
polygones du meme nombre de côtés circonscrits à la seconde ellipse.
Ces deux derniers alinéa résultent évidemment de (40).
SECTION II
