Pour trouver les coordonnées du point ni

de la lemniscate situé sur le rayon OM, qui aboutit au point (x 7 , y') de l'hyperbole, il faut chercher le point de rencontre de la perpendiculaire Y = —, X , abaissée sur

la tangente au point M 7 (x 7 — - y') de l’hyperbole, avec cette tangente, qui a pour équation

On trouve facilement

Ou en déduit, pour la valeur du rayon vecteur p de la lemniscate,

. . * ~ yV’ + y 1

Le rayon vecteur de l'hyperbole a de son côté pour valeur

R = \jx ' 7 -t- y' 7 .

Donc '•

R. p = a 7 = constante.

Ainsi les rayons vecteurs, issus du centre commun des (*) (LoHccteur est prié de lai#e la figujkv

deux courbes , et de même direction, ont leur produit constant.

Ce résultat dérive immédiatement des équations polaires des deux courbes qui sont respectivement

R ~ et p — a y cos 2 0. *

• - y/cos 2 0

52. Le premier théorème (50) donne un moyen bien simple de construire la lenmiscate par points : sur chaque double ordonnée de l’hyperbole, comme diamètre, décrivez une circonférence de cercle ; elle coupera les deux rayons vecteurs, qui aboutissent aux extrémités du diamètre, en deux points qui appartiennent à une lemuiscatc.

Le second fournit un autre moyen également facile : sur le rayon vecteur OM comme diamètre, décrivez une demicirconférence. Prenez, à partir du point O, une corde Or égale à a ; le pied de la perpendiculaire abaissée du point r sur OM donne le point m de la lenmiscate.

Cette demi-circonférence coupe le rayon vecteur symétrique OM' au point de la lemniscale ni, symétrique du point m, puisque l’angle Om'M est droit. De plus, elle touche la courbe en ce point. Car la normale au point n\ infiniment voisin de ni, n’est autre chose que la tangente à l’hyperbole infiniment voisine de la tangente ni M; elle aboutit donc aussi au point M ; ce qui prouve que les deux points ni , n' sont sur la circonférence de cercle qui a OM pour diamètre.

53. Cette dernière remarque fournit un moyen trèssimple de mener la normale et la tangente en un point m d’une lemniscate, sans que cette courbe soit tracée. En effet, joignez Oui qui coupe l’hyperbole en M; prenez -le point M', symétrique de M. La droite tnp, qui joint le pont m au point jz, milieu du rayon vecteur O.V1', est la

• normale. ‘ >

io8 MÉLANGES

Autrement. Remarquons que l’angle IrriO , formé par la tangente mt avec le rayon vecteur Om, sous-tend , sur la circonférence tangentielle en question, un arc égal à celui que sous-tend l’angle OM'/rt. Celui-ci est le complément du double de l’angle vecteur 0. 11 suffit donc de nîcner, par le point m , une droite qui fasse avec Om un angle égal à (go o -^-7.0), dans un sens de rotation tel, qu’elle vienne couper l’axe transverse de l’hyperbole en un point situé, par rapport au grand axe, : dans la même région que le point m lui-mcmc.

On peut aussi joindre Mm', et faire l’angle

Mal' = m Mm'.

54. Remarquons encore, en passant, que si l’on rabat tous les rayons vecteurs sur un quelconque d’entre eux , tous les segments, tels que Mm, y formeront une série de segments en involution. Cela résulte de l’équation du n° 51. O est le point central de l' involution.