Voici une autre construction de la lemniscatc

Que , sur le grand axe de l’hyperbole , on prenne , à

partir du centre O , une distance OC = a \Ji-, si, de ce point conune centre avec le rayon a, on décrit un cercle , chaque rayon issu du point O déterminera, dans ce cercle, une corde égale au rayon de la lemniscatc qui a la même direction. En effet, le cercle a pour équation polaire

r — a \j 2 cos 0 ± — 2 .«*. sin 1 0

( voir F rancoeur, n° 385).

La différence des deux racines de cette équation est égale à la corde interceptée cf \ donc on a

ef = a 1 — 2 sin 1 0 — a y' cos 2 0.

C’est précisément la valeur du rayon de la lemniscatc souS

l'angle vecteur 0. Cette construction remarquable est due .à M. Chasles ( voir le Mémoire cité).

56. Voici enfin une autre propriété de la lcmniscate, qui va nous être utile; c’est que cette courbe a, outre son point double réel, situe en son centre, deux autres points doubles, imaginaires, situés à l'infini sur un cercle ; propriété qui appartient à toutes les courbes- auxquelles on donne quelquefois, par extension , le nom de lemniscate, lesquelles sont le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d’un point fixe sur les tangentes à une conique. [T'oie, pour la démonstration de cette propriété, le Mémoire de M. Chasles , sur les courbes du quatrième ordre. Comptes rendus de i853 , 2 e volume, page 438.),

11 en résulte qu’un cercle quelconque ne peut couper la courbe qu’en quatre points; car, d’ailleurs, ce cercle passe toujours par les deux points doubles imaginaires situés à l’infini [Géométrie supérieure, n ,,s 651 et 652). < -

Si le cercle passe par l’origine, il ne coupe la courbe qu’en deux autres points; et si ces points sont infiniment voisins, ce qui était le cas du cercle décrit ci-dessus (52, 3 e alinéa) , le cercle touche la courbe en ce point, et il ne la coupe qu’au point double qui est son centre.

57. Passons actuellement aux propriétés des arcs égaux de la courbe.

Il résulte de la proposition (50) que les rayons vecteurs . menés aux extrémités d’un arc de la lemliiscate , étant prolongés, comprennent un arc de l’ hyperbole équilalère,

•et que les normales aux deux rayous vecteurs louchent . l’hyperbole en deux points qui déterminent un second arc égal au premier. Chacun de ces deux arcs peut être considéré comme 'correspondant, à l’arc de la lemniscate.

Cela posé, il y a , d’après M. Chasles, entre les arcs de la lemniscate et leurs correspondants sur l'hyperbole , cette relation remarquable :

I io ' . • mélanges

A deux arcs égaux de la lernniscalc correspondent , sur l'hyperbole, deux arcs dont la différence est rectifiable.

C’est par suite de ce théorème, que les propriétés des arcs associés de l’hyperbole donnent lieu à des propriétés des arcs égaux de la lpmniscate ; et l’on a les théorèmes suivants : ,

58. Quand : deux arcs d'une lemniscate sont, égaux, les normales aux rayons vecteurs gui aboutissent, aux extrémités de' ces arcs, forment un quadrilatère circonscriptible au cercle.

C’est une conséquence j évidente par ce qui précède, du théorème III (8).

59. Étant pris sur une lemniscate plusieurs arcs égaux entre eux, si par les extrémités de chacun d'eux on mène les normales aux rayons vecteurs qui y aboutissent, , et qu’on prenne le point de concours de ces normales, tous ces points seront sur une hyperbole homofocale à l'hyperbole' équilatère.

Ceci résulte du théorème I, puisque ces normales sont tangentes en des points qui marquent, deux à deux, sur l’hyperbole des arcs associés.

Ce théorème fournit une construction très-simple pour, déterminer, sur la lemniscate, des arcs égaux à un arc donné, et, par conséquent, des arcs multiples, et aussi pour déterminer un arc égal à la somme ou à la différence de deux arcs donnés,

GO. Si, à partir d'un point de la lemniscate , on prend , de part et d'autre, deux arcs égaux entre eux, mais de longueur quelconque , et. que, par les extrémités de ces deux arcs, on mène les normales aux rayons vecteurs qui aboutissent à ces points , le lieu géométrique du point de concours de- ces deux normales sera une ellipse hotnofocale à l’hyperbole équilatère.

bigitfzèd

DE GÉOMÉTRIE PURE. in

Car, d’aprcs le théorème II (5), ce sera nue conique homofocale d 'espèce différente. Cette ellipse coupe l’hyperbole au point de contact s de la tangente issue de l'origine commune des arcs égaux; et, d’après le théorème IV, on pourra décrire un cercle tangent à la fois aux deux normales et à l’hyperbole en ce point s.

61. Nous avons vu (56) que, par chaque point d’une lemniscate, on peut mener un cercle tangent à la courbe en cé point et passant par le centre de la courbe. Ces cercles donnent lieu à la propriété suivante :

Étant pris sur une lemniscate plusieurs arcs égaux , si par les extrémités de chacun d'eux on mène les cercles tangents à la courbe en ces points , respectivement, et passant par lè centre /le point d' intersection de ces deux cercles aura pour lieu géométrique une espèce de lemniseatc qui sera le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du centre de la courbe sur les tangentes à une hyperbole non équilatère, ' ’.v" •> »

En effet., ces deux cercles se coupent en un point t*; leur corde commune Ot est perpendiculaire à la droite C d qui joint leurs centres, et par conséquent aussi sur la droite- ■MN qui joint les extrémités des diamètres OM, ON. Celte droite MN est une corde de l’hyperbole équilatère (52) ; c’est la corde de contact de l’angle circonscrit à l’arc MN qui correspond à l’arc mn de la lemniscate. Le sommet de cet angle est constamment situé siir une hyperbole 2, homofocale à l'hyperbole équilatère (59); donc elle enve- •loppe une autre hyperbole 2', qui est la polaire réciproque dé 2 par rapport à l’hyperbole équilatère. ( F air Poncelet, Propriétés projectives.) Donc le point i est le pied de la perpendiculaire abaissée du centre O sur une tangente à cette hyperbole 2' . . ' ? ' ’* c - Q- n. V;

62. Étant pris sur une lemnicaste deux arcs égaux , si par lews extrémités on mène quatre cercles tangents

à la courbe en ces points respectivement , et passant tousparle centre de la courbe, ces quatre cercles sont tangents à un même cercle.

Ce théorème est une conséquence de la relation dn n° 51,

, Rp = a.

Quand deux courbes sont liées par, une telle relation entre leurs rayons vecteurs de même direction , on dit quelquefois que l’une est la réciproque ou Y inverse de l’autre. (Voir, par exemple, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques de i855, une analyse intéressante des travaux de MM. Thomson et Liouville sur les courbes et les surfaces réciproques.)

La lemniscate est donc l 'in verse de l’hyperbole équilatère, dont le centre est pris pour origine des rayons vecteurs. On sait, d’ailleurs, que l’inverse d’une circonférence est une ligne droite perpendiculaire au diamètre qui passe par Voriginc, quand cette origine est prise sur la circonférence elle-inême, et que c’est une autre circonférence quand l’origine est quelconque.

Cela posé, si l’on conçoit une tangente au point M de l’hyperbole, l’inverse de cette tangente est un cercle tangent en m à la lemniscate, et passant par l’origine O. A deux arcs égaux de la lemniscate correspondent sur l'hyperbole deux arcs associés, et les tangentes aux extrémités de ces arcs forment un quadrilatère circonscriptible au cercle. Les inverses de ces quatre tangentes sont quatre cercles tangents à la courbe inverse de ce cercle, c est-àdire à un même cercle, dont le centre se déterminera aisément par celte théorie des figures inverses. Ainsi le théorème est démontré.

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