GÉNÉRALISATION DE LA THÉORIE DES FOYERS

1 . « Je me propose, dans celte Note (*), dit M. Chasles , » d’indiquer le point de vue sous lequel on peut considérer » ces points remarquables, pour que leurs propriétés s’ap- » pliquent à tous les autres points du plan d’une section » conique, et qu’il résulte de là une théorie générale, dont » celle des foyers proprement dits ne soit plus qu’un cas » particulier ; et, par théorie, j’entends ici non-seulement » l’ensemble des théorèmes relatifs directement aux foyers, » mais aussi de ceux non moins nombreux qui se rap- » portent aux coniques homofocales. »

Ces divers théorèmes, dont l’auteur a donné les énoncés sans démonstration, sont, la plupart, des conséquences fort simples des principes exposés dans le Traité de Géométrie supérieure. Indiquer ces déductions, ce sera donc donner un nouvel exemple de la facilité avec laquelle ces méthodes fécondes s’appliquent aux questions géométriques .

§ I. — Principes de cette généralisation.

2. Théorème. — Étant donnée une conique A, et étant pris un point fixe S dans soti plan , on peut mener par ce point, d’une infinité de manières, deux droites telles , que le pôle de l’une soit sur l’autre. Ces deux droites sont toujours , en direction , deux diamètres conjugués

U) -Voir les Comptes rendus des séances de l'Académie tics Sciences f année iS/,6» tome XXII. ■>

ii4 - MÉLANGES

d’une certaine conique Z (*), qui est relative au point S, qui change de forme quand on passe à un autre point , et qui devient un cercle , quand le point S est un des foyers. Au point S correspond un second point S' situé sur le même diamètre de la courbe A , mais de Vautre côté et à égale distance du centre ; et la conique Z est. aussi relative à ce point.

Réciproquement, une conique Z étant donnée, il existe deux systèmes de deux points S et S', réels ou imaginaires, auxquels elle est relative. Ces points seront désignés sous le nom de foyers de la conique A , relatifs à la conique Z.

Pour démontrer ces diverses propositions, soient (fig. i, PI. JJ) O le centrede la conique donnée A, et S le point fixe pris dans son plan. Si l’on mène une droite quelconque SI, la droite S p, qui lui est conjuguée , divise en deux parties égales, au point/?, la portion RR' de la tangente parallèle à SI, qui est comprise entre les tangentes ST, ST' issues du point S. Cette droite passe aussi par le point i , où la polaire TT' du point S est coupée par le diamètre rnn conjugué à SI. Les quatre droites ST, Si, ST', SI formant un faisceau harmonique , on voit tout de suite que l’angle iSl est variable; car les deux droites Si et SI s’approchent ou s’éloignent en môme temps de l’une des tangentes ST'.

De ce que les tangentes ( réelles ou imaginaires) issues du point S divisent harmoniquement l’angle de deux droites conjuguées quelconques, il s’ensuit que celles-ci forment deux faisceaux liomographiques en involution (Géom. sup..

(*) Les surfaces du second degré donnent lieu à des considérations analogues. Quand trois droites, menées par un point fixe, sont telles, que la polaire de chacune d’elles, par rapport à une surface du second degré, soit comprise dans le plan des deux autres, on dit que ces droites sont des axes conjugués relatifs au point fixe'. ' Et l’on a ce théorème :

Trois axes conjugués dune surface du second drgtê t relatifs à un point fixe , sont toujours, en direction , trois diamètres conjugues d’une autre surface du second degié. (Voir Aperçu historique . page 6o4* )

DE GÉOMÉTRIE PURE. n5

ii os 689 et 211). Il faut donc montrer d’abord que les rayons homologues de deux tels faisceaux sont toujours, en direction, les diamètres conjugués d'une certaine conique. Séparons les centres des deux faisceaux; plaçons, par exemple ( fig . 2 ) , l’un en C' et l’autre en C; on aura deux faisceaux homographiques de centres différents, dont les rayons homologues Cm, C'm, parallèles aux deux rayons tels que SI, Si, se couperont sur une conique passant par les points C et C' ( Géom . sup., n os 545 et suivants). Mais d’après la propriété caractéristique des faisceaux en involulion, tout rayon tel que SI, étaut considéré comme appartenant au deuxième faisceau, a encore le même homologue St dans le premier. Par conséquent, au rayon Cm' du second faisceau (C') parallèle à Cm, correspond dans le premier faisceau (C) un rayon C m! parallèle à C 'm; de sorte qu’à chaque point m de la conique correspond un autre point m' placé symétriquement par rapport au point O milieu de CC'. Les rayons Cm, Cm sont donc des cordes supplémentaires , et par conséquent ils sont, en direction, des diamètres conjugués. Or ces rayons sont respectivement parallèles aux droites conjuguées quelconques SI, Si. Donc le théorème est démontré.

3. On sait ( Gèom . sup., n° 249) que, dans deux faisceaux en involution, il existe toujours un système de deux rayons rectangulaires et qu'il n’en existe qu’un. Donc, eu général, les droites conjuguées Si, SI feront entre elles des angles variables et dillërant d’un angle droit. Un seul couple de ces droites sera rectangulaire , et, dans cette position, elles seront parallèles aux axes principaux de la conique S, lesquels peuvent ainsi se déterminer par la construction du n° 249. S’il arrive que ces droites conjuguées soient rectangulaires dans deux positions différentes, elles le seront dans toutes ( Géorn . sup., n° 260). Or il est bien facile de voir, en suivant sur la figure les varia-

tions de l’angle rS/, que ce cas ne peut se. présenter que si le point S est intérieur à la conique A ; qu’il doit toujours se présenter , et que le point S doit être situé sur le grand axe de A si c’est une ellipse, et sur son axe réel si c’est une hyperbole. C’est ainsi qu’on se trouve naturellement conduit à constater l’existence des foyers véritables des sections coniques et à en déterminer la position. Et c’est peutêtre la manière la plus naturelle de les introduire dans la théorie générale des sections coniques.

4. Il est évident que Z n’est déterminée que de forme , et non de grandeur ni de position. Celles-ci varient en même temps que la position des points arbitraires C,C' qu’on prend pour centres des faisceaux homographkjues. Mais toutes les coniques ainsi obtenues sont semblables. Le rapport des axes est donc seul déterminé. Pour l’obtenir, supposons d’abord que A soit (fig . i) une ellipse et que le point S lui soit extérieur. D’abord le diamètre S b' de 2 conjugué à Sa' est évidemment parallèle à OB, c’est-à-dire à TT'. De plus, comme ST et ST sont, dans le cas actuel, les asymptotes de l’hyperbole 2 , si l’on mène par un point D de ST' une parallèle Da' à TT', les droites Sa', Du' sont dans le rapport des axes de 2, en vertu d’une propriété bien connue des asymptotes.

Donc les

triangles Sa: T, Sa'D sont semblables et

donnent

Va' xT • ,

Sa' “ Sx ’

d’où

Va '. 1 b ' 1 xT xi

fî “s?*

Or, par les propriétés générales des courbes (Géom. sup., n° 480) , on a

puis, par les propriétés harmoniques (art. 70, n° 13) , ^C.^C' = lO.rS et OC' = xO.SO (art. G9, n° 10). l)c ces équations on lire

xS.a 1

puis

d’où

xC.xC'

xT’

xS.a 1 a' SO.xT’ ~b i '

xS SO