SO

En effet , si la courbe A est une hyperbole, il arrive que xT est imaginaire si xC et xC sont réels, ou, réciproquement, que XT est réel tandis quexC et xC' sont

imaginaires. Il faut écrire alors

xT y — i ,

ou bien

• xC y/ — i et xC ' ^ — i ;

dans l’un et l’autre cas, l'équation

devient

iT 1

xC.xC' jT 1

xC.xC'

et ce changement de signe entraîne celui de la formule finale ; ainsi se trouve expliqué le signe d= de cette formule.

5. Si le point S est intérieur à la courbe A , les tangentes ST, ST' sont imaginaires. Donc S est une conique dont les asymptotes sont imaginaires; autrement dit, c’est' un e ellipse. Dans ce cas, pour avoir le rapport des axes, il faut prendre un autre tour de démonstration. Les rayons doubles des faisceaux en involution produits par les droites conjuguées Si, SI, sont alors imaginaires, et par conséquent on peut regarder les deux faisceaux comme la perspective de deux autres faisceaux dans lesquels les rayons homologues seraient tous rectangulaires, ( Géom . sup . , n°‘ 180 et 250). Sur le nouveau plan de projection la courbe £ est devenue un cercle, et cela a lieu pour une infinité de centres de projection, qui sont tous distribués sur deux droites passant par le centre commun des faisceaux et qu’on peut déterminer par la méthode indiquée (n° 172) {*).

(*) On peut aussi remarquer que, si autour de deux droites conjuguées S i. S/, on fait tourner deux plans rectangulaires , ces plans se couperont sui* xant la génératrice d’un cOue du deuxième degré ( Mémoire sur les surfaces engendrées par une ligne droite , n° 89). Prenons le cône relatif à deux autres droites conjuguées Si', S/'; ces deux cônes sc couperont suivant deux génératrices qui seront les deux droites en question. Car, d’un point quelconque

DE GÉOMÉTRIE PURE. mj

Prenons parmi ces points , celui qui, étant à 1 infini (539), projette à l’infini la droite à l’infini de la figure primitive, ou, en d’autres termes, faisons subir à cette figure la transformation indiquée au n° 53 4 de la Géométrie supérieure; dans la ligure transformée ou homographique, la conique A' aura toujours son centre en U' , projection ou homologue de O; 2 sera devenue un cercle; ses rayons conjugués a' et b' seront devenus égaux entre eux (r et r J ) et rectangulaires. Les demî-diamètres a et b de A seront demeurés parallèles à r et i J (n" 534), et ils seront actuellement rectangulaires; désignons-les par « et (3. Ce sont les axes principaux de A' et le point 1*, homologue de S, est le foyer véritable de h! .

Si A et A' sont des ellipses, on a

■ FO'i=c J = a-— p 1 . 4 >

- Ecrivons

La transformation homographique ne change pas le rapport des segments parallèles (n" 53(1) ; on a donc

p b a a c SO

r'~V' r~ ë~ fl 7 "’

donc

a'— SO

Si Â et A r sont des hyperboles , on a

ce qui donne

a' — SÔ’ .

ainsi la formule est démontrée' dans tous les cas.

de chacune d’elles, on verra &ous tin angle droit les angles /Si, /'Si', c i p suite celui de deux conjuguées quelconques (u° 2tiOV

6 . Passons à la discussion relative au nombre des foyers. Soient a' et b‘ les deux, diamètres de 2 qui sont parallèle

aux diamètres a et b de A. Faisons, pour abréger p = m

et supposons m ]> i , ce qui est permis. Supposons actuellement que A soit une ellipse ; l’équation ci-dessus devient

SO ■= a' — m‘ b 1

si l’on prend le point S sur le diamètre a , et SO = b ’ — m’a ’ -

si on le prend sur le diamètre b. Supposons que 2 soit aussi une ellipse , m* est positif, eUsi l’on aa’> m*b *, auquel cas il existe deux points réels S et S' sur le diamètre a, on voit que b' <frri t a > et qu’il n’en peut exister sur Iç diamètre b. Si c’est au contraire sur b que se trouvent les deux points S et S', c’est une preuve que b ’ ]> m’a’, et par suiteil n’en existe point sur a, puisqu’on a à’ fortiori a* mfb*.

Ainsi A et 2 étant des ellipses, il n’existe que deux points S et S' sur l’un des deux diamètres parallèles.

2 étant toujours une ellipse, supposons que A soit une hyperbole ; la formule devient

SO — <*’ -+- m 1 b’ SO . = b- -t- m’ a * ;

mais ici b * est négatif, on retombe donc sur les mêmes formules que ci-dessus et ou arrive à la même conclusion.' Mais de plus on voit que c’est sur le diamètre réel a que les points doivent se trouver 5 car pour le diamètre imaginaire, la formule deviendrait

SO — — b ’ — m ' a'

et donnerait pour SO deux valeurs imaginaires.

Quand 2 est une hyperbole, -p- t — tri* est négatif t- si A

est une ellipse, les deux équations ci-dessus deviennent SO sa’ + m'J 1 ,

SO = b' 4 - ni* a' 1 .

Les expressions de SO données par ces deux équations étant toujours réelles, on obtient quatre positions du point S, deux,sur le diamètre a et deux sur le diamètre b. Ces deux-ci ne sont autre chose que les points de concours des tangentes menées à la conique A par les deux premiers, qui sont extérieurs à A puisqu’on a SO > a.

Si A est une hyperbole en même temps que 2 , on ne peut faire que deux suppositions : ou bien le diamètre a , sur lequel on cherche les points S et S', est un diamètre imaginaire, ou bien c’est un diamètre réel. Dans le premier cas, m* étant toujours négatif, on a *

/rt’=SO -Ka 1

qui donne pour SOdeux valeurs imaginaires. Dans le second cas , on a „ •

qui peut également donner des valeurs imaginaires pour SO si l’on a a ! < n&b 1 . Dans le cas où elles sont réelles, on a SO < a, et les points S et S* sont extérieurs à l’hyperbole A , comme on a vu plus haut que cela doit être. • * ,

§ II. — Propriétés relatives à, un seul foyer [*).

7. Concevons que la conique 2 ait son centre au point S. « Quand le point S est pris au dehors de la conique A , on peut mener par ce point deux tangentes à cette courbe; chacune de ces droites a son pôle situé sur elle-même, desorte que chacune de ces lignes représente, à elle seule., un

(*) Tout ce paragraphe est extrait textuellement de la iNotcdc M. Chasles 11 ne demande aucune explication, et je ne l'ai reproduit que pour éviter au lecteur la peins de recourir aux Comptes rendus des séances de t' Academie des Sciences . ' -

système de deux diamètres conjugués de la conique S : ce qui montre que cette courbe est une hyperbole qui a ces deux tangentes pour asymptotes. Cette hyperbole se trouve doue inscrite dans le même angle que la courbe A. Donc le point S est un centre d’homologie des deux coniques.

» Cela a encore lieu quand le point S est situé dans l’intérieur de À ; seulement les tangentes communes sonl ( alors idéales. Ainsi l’on peut dire que :

» La conique £ relative à un point S, est celle qui, ayant son centre de figure en ce point, a ce point luimême pour centre et homologie avec la courbe proposée A . Celte propriété de la conique £ suffit pour la définir.

» Ainsi dans le cas des foyers véritables , un cercle décrit d’un foyer comme centre a ce point pour centre d’homologie avec la conique. Propriété importante, due à M. Poncelet. .

* » 8. Voici plusieurs autres propriétés de la conique £, dont chacune suffit , comme la précédente , pour déterminer et construire cette courbe.

» Concevons la polaire du point S par rapport à la conique A. Soient m un point de cette courbe , et m' le point homologue de £. Soit mp la perpendiculaire abaissée du point ni sur la polaire du point S; on aura

< • * S m ~ . Sm > „ ,

* : Sm = const. ou — — = t.Sm

mp 'mp v ■

( Géom . sup., n° 529), c’est-à-dire que le rapport des distances de chaque point de la conique A au foyer S et à sa polaire D, est proportionnel au demi-iliamètre de la conique £, sur lequel se compte la distance au foyer.

» Quand le point S est un foyer véritable , on retrouve la propriété connue de la directrice.

« 9. Soient n Je second poiutoù le rayon S m rencontre A,

DE GÉOMÉTRIE PURE. i s3

/»' le poiul qui lui correspond sur S , et nq la perpendiculaire abaissée du point n sur la polaire du point S ; on a , comine pour le point m,

Sn 1

Or S n' = — Sm', puisque le pointS est le centre de S ; donc Sn

Par suite,

S m S/J -X.Snj' \>»p nq )

Or -t-^j est une quantité constante, quelle que soit

la direction de la droite S ni ( Gêom . sup., n° 683) ; donc

i i constante

S m Sn Sm' , .

» Les lignes Sm , S« ont des signes qui sont les mêmes ou sont différents, selon que le point S est au dehors ou dans l’intérieur de la courbe A. On peut donc écrire

r ! i constante

Sm'

ce qui exprime que si autour du foyer S on fait tourner une transversale qui rencontre, la conique A en deux points , la somme ou la différence des valeurs inverses des distances de ces deux points au foyer , est proportionnelle à la valeur inverse du demi -diamètre de £ dirigé suivant la transversale.

». Ce sera la somme quand le point S sera extérieur à la conique A, et la différence quand il lui sera extérieur.

» 1Q. Soit d le demi-diamètre dé A parallèle à la corde

TOM, on aura

mn ,X"

~ Sm

c’est-à-dire quo toute corde de la conique A , qui, prolongée au besoin, passe par le foyer S, étant divisée par le carré du demi-diamètre de A , qui lui est parallèle , donne un quotient proportionnel à la valeur inverse du demidiamètre de la conique £ de même direction. »

Car l’équation du n° 9 donne

Sm ±Sn !

. Sm.Sn Sm' ’

or on a ( Géorn . sup., n° 478) Sm.S»

donc

i. P mn

= COIlSt. ;

; § III . — Propriétés relatives à deux foyers.

11.. « Considérons deux points situés sur un meme diamètre de la conique A, de part et d’autre et à égale distance du centre, ces deux points auront la même conique relative 2. J’appellerai ces deux points yby ers conjugués.

» Les rayons menés de chaque point tf une conique A à deux foyers conjugués , divisés respectivement par les demi-diamètres qui leur sont parallèles dans la conique 2 relative aux deux foyers, ont leur somme ou leur différence constante. - -

» Ce sera la somme si la conique A est une ellipse, et la différence si c’est une hyperbole, quelle que soit la position des foyers, audedans ou au dehors de la courbe. »

En effet, soit mené S« parallèle à S'm-, ou a

• Sn = S'/w et nq" = mp" .

D'après cela , On a ' ' ’ .

irr A . mp . i

S' ni .

. WJ) ,

Digilized

d'où

± — ). [mp"' dt mp" ) = \ .p" p'" — const.

On arriverait au même résultat en partant des propriétés connues des rayons vecteurs issus des foyers véritables des sections coniques et en employant, comme nous l’avons déjà fait, la transformation homographique du n° 534 de la Géométrie supérieure.

Pour appliquer le théorème, il faut, ainsi que le dit lé texte , faire la somme ou la différence , suivant que A est une ellipse ou une hyperbole. Cela se voit aisément sur la fi g. i -, car pour convertir mp'" zh mp" en p" p"' (distance des polaires de S et S') , il faut toujours faire la somme algé~ brique de ces deux quantités si A est une ellipse, et la différence algébrique si c’est une hyperbole, c’est-à-dire qu’on doit, dans la démonstration , faire attention au sens dans lequel les perpendiculaires mp'" et nq" sont dirigées par rapport à la polaire TT'.

12. « Les rayons menés des deux foyers conjugués à un point de la conique A forment , avec la tangente en ce point et une seconde droite- parallèle au conjugué de cette tangente dans la conique 2, un faisceau harmonique.

» Quand les deux points S et S' sont des foyers véritables, la conique2estun cercle, ctle théorème exprimequelesdeux rayons vecteurs font des angles égaux avec la tangente. »

Ce théorème se démontre sans difficulté. En effet [fig. i), les quatre points /, sont en rapport harmonique.

Donc les droites S m, Su, Si, SI forment un faisceau harmonique. Donc aussi les droites S m , S 'm , Si, RR', puisque S' ni est parallèle à S n et que RR' l’est à SI. Or S /est, dans laconique 2, le diamètre conjugué à SI. Donc, etc.

13. « Si de deux foyers conjugués on abaisse sur chaque tangente à la conique A deux obliques parallèles au diamètre de 2 conjugué à cette tangente , le produit de ces

deux obliques sera proportionnel au carré de ce diamètre.

Les pieds de ces obliques seront sur une conique concentrique à la conique A et homothétique à la conique X. »

Démonstration. — Soit St le diamètre de (2) conjugué â la tangente RR' ou à sa parallèle S/; l'oblique abaissée du point S' sur la tangente, parallèlement à Si, coupe RR' au point q.

Prouvons d’abord que les points p et q sont sur une coniqüe concentrique à A et homothétique à 2 . Si , par l’extrémité « du diamètre mO/t, on mène la taugeute n J parallèle à RR', les deux obliques Sp r S'q couperont relte nouvelle tangente en deux points /;' et q' , symétriques de q bt de p, par rapport au centre O. Cette seule remarque prouve que la coürbe des points p, p', q, cj est concentrique h A. Chaque tangente, telle que RR', ne donne ’ lieu qu’à dçux points/; et q. De même, chaque rayon S p ne coupe la courbe qu’en deux points p et //. Donc celte courbe est du second degré. 11 faut actuellement montrer que cette conique est homothétique à 2. Or , si l’on prend pour la tangente RR' l’une ou l’autre des tangentes issues des points S et S' (lesquelles sont les asymptotes réelles ou imaginaires de 2), on obtient pour p et q des points situés à l'infini sur ces tangentes. Or 2 a clle-mômc des points à l'infini (réels ou imaginaires) sur ces droites. Donc les deux courbes Sont homothétiques (Géom. sup., n° 472).

Il est de plus évident que les points C et C appartiennent à la courbé 2', et qu’on a S// = S 1 q et S p = S 'q 1 . Donc, en désignant par A le diamètre de 2 qui est conjugué à la tangente RR', si l’on veut prouver que le produit des obliques S p, S 'q est proportionnel à A*, il sulEt de prouver qu’on a , , ' , . .

Sp.Sp' = X . A 1 ;

Or, en vertu des propriétés générales des courbes (Géom.

ia;

sup., n°480) , on a l'équation

Sp.S/j' A’’