SC. SC
A' étant le demi-diamètre de S qui est parallèle à S />. SC. SC' est une constante, et, à cause de l’homolhêtie des coniques 2 et 2', on a A' =s p. A'. DoncSp.S/»'— X. A’.
Il est à remarquer que les points i et S sont les points doubles de l’involution déterminée par les segments pp 1 , un'. Ainsi, on pourrait arriver à la démonstration du dernief théorème en se servant d’une des équations d’involulion convenablement choisie; mais la démonstration précédente suffit.
$ IV. — Propriétés relatives à nn système de coniques décrites des mêmes foyers.
14 . Les premières propositions de ce paragraphe sont de simples définitions. Je vais donc simplement rapporter le texte de M. Chasles, afin de ne pas rompre la chaîne des idées et de bien les préciser.
« Concevons deux coniques quelconques , mais concentriques, et, pour fixer les idées, supposons d’abord qu’on puisse leur mener des tangentes communes, lesquelles formeront un parallélogramme circonscrit aux -deux courbes. Prenons pour foyers conjugués deux sommets opposés du ^parallélogramme. A ces foyers correspondra la même courbe 2 dans les deux coniques, parce que cette courbe est une hyperbole qui a pour asymptotes les deux tangentes communes aux deux coniques , issues du foyer que l’on considère. Nous dirons que les deux coniques sont homofocales, parce qu’à l’un des deux foyers correspond , dans chacune des deux courbes, une même conique relative 2.
» -Ces deux foyers sont deux centres d’homologie des deux
coniques. Le parallélogramme circonscrit aux deux courbes peut devenir imaginaire; mais les deux sommets considérés Comme deux centres d’homologie subsistent et conservent toutes leurs propriétés. D’après cela, nous dirons ( nous bornant aux coniques concentriques) que :
» Deux coniques quelconques concentriques ont toii jours deux foyers conjugués communs, c'est-à-dire auxquels correspond, dans les deux cotlrbes, une même conique Relative.
» En d’autres termes :
» Deux coniques quelconques concentn’ques peuvent toujours être considérées comme deux coniques homofocales.
» Il est clair que }>our une troisième conique', inscrite dans le même parallélogramme que les deux premières, ou ayant les mômes centres d’homologie , ces deux mêmes points seront encore deux foyers conjugués, dont la conique relative £ sera la même.
» Donc, Des coniques concentriques inscrites dans un même quadrilatère , ou, plus généralement, ayant deux mêmes centres d'homologie communs, forment un système de coniques homojocales, dont les foyers sont les deux centres d’homologie.
» Ces coniques sç rangent en deux séries : dans chaque série sont celles qui ne se rencontrent pas, mais qui rencontrent toutes celles de la seconde série. »
15. La considération de ces coniques donne lieu à plusieurs théorèmes intéressants. On a d’abord celui-ci :
k Étant données deux coniques concentriques, si on leur mène deux tangentes parallèles, et que du centre commun ‘ on abaisse sur ces tangentes des obliques parallèles au diamètre qui leur est conjugué dans la conique 2 , la diffét'cnèc des carrés des deux obliques sera dam un rapport
constant avec le entré rie ce diamètre auquel elles sont parallèles » » . .
En efl'et, soient (fig. 3 ) Pp, Qq deux tangentes parallèles menées à deux coniques concentriques, et S q la direction du diamètre qui leur est conjugué dans la conique 2. Si l’on mène OQ parallèle à S q, et qu’on désigne par A le diamètre en question de 2, il s’agit de prouver qu’on aura
OQ — OP = ).a.
Menons les tangentes parallèles et diamétralement opposées, lesquelles coupent S q en p' et q' ; on a, comme il a été démontré ci-dessus (13),
Sp.Sp' = et Sijr.Sy' = V. A 1 .
Mais, TT étant le milieu commun des segments ppf et qtf ,on a
S p = Sir -f- Ttp,
S p' = SjT 7 Tp,
Donc
Sq — Sir 4- Ttq,
S q' — Sr — vq.
Sp.Sp' — Sw’ —
ap 1 — S»’ — OP ,
et
Sq.Sq'=S,*’ —
7T 7’= Sw’ OQ , '*'•••• ,
et enfin
S/j.Syj' — S0.Sÿ'=OQ— OP =>". A’. c. q. F.- d.
. Autrement. Appliquons aux coniques le théorème de l’art. 737 de la Géométrie supérieure . Deux coniques étant données , si l'on mène une tangente quelconque à la première et les deux tangentes parallèles à la seconde, puis deux droites parallèles à cette tangente par les deux sommets du quadrilatère circonscrit, ou centres d’homologie, on a la relation
ma . ma'
mb. rnb'
= const.,
a\ £>, b' étant lés points où une transversale arbi»
i3o .. . MÉLANGES
traire cou pe les trois tangentes et les deux droites. La transversale étant S q, les points on question sont, sur la figure précédente, q, p, p', a , s. On a donc
<1P')P’ g a.qS
= const.
Or, en vertu du théorème (13),
ga.gS = g'R.gS = A’;
et l’on a d’ailleurs •
qp.qp'z=: (qn — np) {g n np) = OQ — OP .
Donc - •
OQ — 0P = ).4’. c. q. r. d.
On voit que si les points S etS' sont les foyers véritables, le théorème devient celui-ci :
Deux coniques homofocales étant données, si Von mène une tangente à la première et deux tangentes parallèles à la seconde, le produit des distances de la première tangente aux deux autres est constant. Si les coniques sont deux ellipses, ce produit est égal à la différence des carrés des petits axes ou des grands axes.
16. Passons au théorème suivant; Il s’agit de démontrer q ne quand deux coniques (concenlriqneê et de mêmes Joyers relatifs) se coupent , leurs tangentes en un point de rencontre sont parallèles à deux diamètres conjugès de la conique £.
Soient ( fig . 4) et et al' les tangentes en question issues du point commun a. Par le foyer S menons S f parallèle à at, et soit Se la droite conjuguée à S f, laquelle est, en direction, le diamètre de Z conjugué à S f ou at. Il suffit de prouver que Se et al' sont parallèles.
Le point e se trouve à l’intersection dn diamètre aa' conjugué à at et de la polaire PP' du point S; donc les quatre points a, e, a', f sont en rapport harmonique. Soit I le point de concours des deux sécantes communes nb, a'bl
DE GÉOMÉTRIE PURE. i3i
(ici ce point I est à l’infini); la polaire PP' concourt au môme point (ceci se déduit sans difficulté des théorèmes 71 fi et 721 de la Géométrie supérieure). Joignons 1 f\ les quatre droites In, le, la', \f forment, un faisceau, harmonique, puisqu'elles sont issues du même point et passent par a, e, a' et f. Or on sait ( voir ci-après la démonstration) que la polaire pp' du point S relative à la deuxième conique passe aussi en f et forme un faisceau harmonique avec l’autre polaire PP' et les deux axes de symptose. Donc \J se confond avec pp' .
Le point f est donc le pôle [relatif à la deuxième conique A ] d’une droite passant par le foyer S et parallèle au diamètre de A' qui est conjugué à an', puisque eo pointy se trouve aussi sur an'. 11 est donc le pôle d’une parallèle menée par le point S à la tangente al' . Or il est. par construction, le pôle de Se, relativement aux deux coniques. Donc Se est parallèle à ai'. '* c. Q. F. d.
17. Voici maintenant comment on démontre la propriété harmonique des axes de symptose et des polaires PP', pp\ sur laquelle repose le raisonnement qui précède.
Les deux axes de symptose et les deux polaires du centre d’homologie S concourent au même point [Gcom. su/j ., n°* 716 et 721 appliqués aux coniques). Menons par le point S une transversale quelconque qui coupe la première conique en a , a' , la seconde en b , b ' et les deux axes de symptose en c, c'. Les six points a, a'; ô, b'\ c, c' sont en involution ( Géom . sup., n° 743, appliqué aux coniques). Or, si la transversale devient une tangente commune aux deux coniques, les points a et a' se confondent en un seul e, et les deux b , b' en un seul f ; ces deux points e,y sont les points doubles de l’involution ; donc ils divisent harmoniquement le segment ée'. Or ils se trouvent sur les polaires du centre d’homologie S. Donc les quatre droites en question forment un faisceau harmonique.
§ V. — Propriétés des points correspondants.
• , li. ’ v . . * » *
18. Soient m, m ' les points où deux, coniques d’une série sont rencontrées par une conique de l’autre série; nous appellerons ces points correspondants. Voici quelles sont leurs propriétés :
Soient pris, sur deux coniques, deux systèmes de deux points correspondants m , m' et n, n' : •
i°. Les deux droites mn' , m' n,. divisées respectivement par les demi -diamètre s de la conique 2 qui leur sont parallèles, donnent des quotients égaux ;
u°. Ces deux droites sont tangentes à une même conique homofocale aux proposées
3°. Deux points correspondants étant pris sur deux coniques homofocales , les carrés des demi-diamètres qui aboutissent à ces points , divisés respectivement parles carrés des demi-diamètres de la conique S qui leur sont parallèles, ont leur différence constante.
Pour démontrer ces trois propositions, supposons qu’on fasse subir à la ligure la déformation homographique déjà employée ci-dessus (5). La conique 2 deviendra un cercle, et. toutes les coniques deviendront véritablement homofocales. Il suffit alors de prouver :
i°. Que les cordes mn' et m'n sont égales ,• a°. Que ces cordes sont tangentes à une même conique , homofocale aux proposées ]
3°. Que les carrés des demi-diamètres qui aboutissent à ileux points correspondants ont leur différence constante. Soient
les équations de deux ellipses et d’une hyperbole homofocales, pour lesquelles on a par conséquent
les points de rencontre de la première ellipse et de l’hyperbole ont évidemment pour coordonnées
tr
celles relatives à la seconde ellipse ont pour valeurs
d’où
- x' a' Ct y* b'
C’est-à-dire que les coordonnées de deux points correspondants sont toujours proportionnelles aux axes suivant lesquels elles sont dirigées, prôpriété fondamentale qui sert souvent de défini lion aux points correspondants .
\ D’après cela, on aura ( fig . 5)
O /« = x 1 ■+■ y’ = ■ — et O m' — a' 1 b' 1 b"'\
d’où l’on lire .* - •
