TT
= a’’ — a , = const.,
en ayantégard aux expressions qui donnent la valeur dec*.
La troisième proposition se trouve ainsi démontrée.
Soient actuellement. £ , n les coordonnées d’un second point n pris sur la première ellipse et £% n 1 celles du point n r correspondant sur la seconde. 11 s’agit de prouver que nm' = n'm. * -■ '
• ' On a , comme on l’a vu plus haut,
on a ensuite
nm' = (5— (« — /y, ma' (ç' — x) 3 -+- (>,' — y) 1 ,
w =(ïî-x) , + (4^ r )- ; ;
D'ailleurs 011 a
mais on a aussi
p+p ^ 1 et p+p='>
parce que les points n et ni sont sur la première ellipse ; donc enfin
eu qui démontre le premier théorème.
Il reste encore à démontrer la seconde proposition relative à la conique homofocale que touchent les cordes nm et m' n , et cela peut se faire de deux manières, soit au moyen d’une v éri ficalion Analytique analogue à celle qui précède, soit , par la Géométrie pure. Je vais exposer les deux solutions, dont la seconde, qui ne s’appuie que sur des théorèmes de la Géométrie supérieure , rentre plus particulièrement dans l’esprit général et dans le but du présent écrit.
U s’agit de prouver que les deux diagonales nm', nm! sont
DE GÉOMÉTRIE PURE. . i35
tangentes à une conique bomofocale aux proposées. Les , coordonnées des quatre points m,m', », sont, comme il a été trouvé ci-dessus ,
pour le point ni x = — a y y = — b y
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Les équations des deux droites mn', nm! sont donc
(tx — a" a ) = b „ j b „,p (cy — b" b ) ,
(cx- fla ) = w> r6 - (cy-bb). .. v.
Soit
■ l'équation d’une conique bomofocale aux proposées. L’équation d’une droite tangente à cette courbe et dont la direction est donnée est de la forme - '
yz=gx±yl?{i 4-g 1 ) — c*.', • telle droite coïncidera avec la droite nui', si l’on a , • b" b — b m b'
an
, (ab'a"b m — ba'b"a m y
c’ (ufl" — a'a"'y
?’[ [an - a 9 a' )« -+- ( b" b — b'" b' ) 7 ] — c’ ( a"u — a" a ■ {aa"b'b'" — a’a"'bb"Y
i3j6 -"'..Z' : ' MÉLANGKS
Cette équation détermine le demi grand axe y de la conique tangente à la droite mn!. Développant, et mettant à la placedei’jé'*, b" 1 , b m leurs expressions (u* — c*,), (a'’ — c*)., (c*— *«**), (c* — a'"'), on a
[a 1 -H «'» q- a " 1 -f- n”’ — 2 na'a"a“’ — 2 bb' b"b m — 2 c*] , = ( «W' 1 -+• oV’/’ H- a 1 a" 'a "' 1 -+- a'W’a"'*). c 1 — 2 ««'«'«'’ (au' a” a” -+■ bb'b"b m 4- c*).
Or, si l’on fait le même calcul à l’égard de la droite nm!, c’est-à-dire, si l’on cherche lè demi grand axe de la conique, homofocale aux proposées, tangente à cette droite, on trouve la même équation, et par conséquent la même valeur du demi grand axe y. Donc les deux droites mn' et nm! sont tangentes à une même conique. c. q. f. d. .
Pour démontrer la même proposition par les seules ressources de la Géométrie , je remarquerai d’abord que , si l’on transforme le théorème qui fait l’objet du n° 757 de la Géométrie supérieure par la méthode des polaires réciproques , en plaçant le centre du cercle directeur en l’un des deux points c,f qui ont chacun même polaire dans les trois cercles donnés [Voir, pour cette transformation, le n° 16 du chapitre II, page 70 ), 011 ohticiu l’énoncé suivant, qui est le réciproque du premier et qui concerne, non plus des cercles de même axe radical, mais bien des coniques hpmofocales ;
Étant données trois coniques homofocales , si une corde de longueur variable se meut, de manière à rester tangente à l'une tandis que ses deux extrémités glissent sur les deux autres , respectivement , le. point de concours des tangentes menées par ces extrémités à la première conique . décrit une quatrième conique homofocale aux proposées.
Cela posé, désignons (fig- 5) par C, C’ les deux ellipses mn , ml U et par S , Z' les deux hyperboles mm!, un 1 . Soit euQn U une cinquième conique homofocale aux proposées
, • . D1?jitize
et tangente à la corde m'n. Je dis que celle conique U est aussi touchée par la corde mn'. K 11 effet, si l’on fait rouler la corde m'n sur U, tandis que ses extrémités glissent d’un mouvement continu sur les deux coniques 2, Z', on l’amènera nécessairement à passer par le point m. Soit alors n" le point où son autre extrémité s’appuie sur 2'. Il s’agit de prouver que n" appartient aussi à la conique C' et que, par conséquent , il se confond avec n'.
Les cordes m'n, mn" sont tangentes à une même conique U homofocale avec les deux 2, 2' sur lesquelles leurs extrémités s’appuient, respectivement. Donc, en vertu du théorème réciproque cité plus haut, les tangentes à U, menées par leurs extrémités, savoir m'i, ni et mi' f n"i se coupent, deux à deux, en i et i' sur une sixième conique U' homofocale aux proposées.
Actuellement, considérons les deux cordes ni et mi'. Elles sont tangentes à U, et leurs extrémités s’appuient, respectivement, sur deux autres coniques C etU'homofocales avccU. Donc, en vertu du même théorème, les tangentes à U, menées par ces extrémités, doivent se couper sur une conique décrite des mêmes foyers que C, U et TJ'. Ces tangentes sont nm', im' pour la première, mn", i' n" pour la deuxième, et leurs points de concours sont m' et n". Or m' appartient à la conique C' homofocale aux coniques C, U et U'; donc le point n" appartient aussi à C', puisqu’il n’y a qu’une seule conique C' qui puisse satisfaire à celte condition et passer par le point ml. Donc enfin le point n ", qui se trouve «à la fois sur C' et sur 2', se confond avec le point n', ce qui démontre que la corde mn' est, comme m n, tangente à la conique U.
Nota. — Si l’on faisait la transformation du théorème du u° 757 de la Géométrie supérieure par la méthode générale des figures corrélatives , .et non plus par celle des polaires réciproques, on obtiendrait un théorème corrélatif,
'38 . ’.s MËLAN€ÉfcW*f| ! V y . ■ ' . ' ■
analogue au précédent et facile à énoncer, concernant des coniques inscrites dans le même quadrilatère, dont les coniques liomofocalcs ne sont, comme on sait, qu’un cas très-particulier. La proposition elle-même que je viens de démontrer s’appliquerait donc, sous un énoncé beaucoup plus général et par des raisonnements absolument analogues, à de telles coniques. Mais il me suffit d’indiquer ici ce nouveau théorème qui m’entraînerait dans une digression trop étendue, et sur lequel je me propose de revenir ailleurs.
19. Les trois propositions du n u 18 sont donc démontrées pour des coniques véritablement homocales, et même, d’après ce que je viens de dire, la seconde, qui d’ ailleurs est projective , est aussi démontrée pour les coniques relativement liomofocales dont il s’agit dans les énoncés primitifs (page i3i). Les deux autres propositions s’étendent aussi à ces coniques, comme on va le voir.
F.n effet, avant de subir la déformation liomograpliique, qui en a fait des coniques liomofocales, les coniques données étaient simplement concentriques et avaient les mêmes foyers relatifs, c’est-à-dire qu’il leur correspondait une même conique relative Z. Dans la déformation Z est devenue un cercle, et si l’on désigne par r et r* les rayons de ce cercle qui sont parallèles, respectivement, aux cordes nui, ni 7», ou aux rayons 0/«, O ni, on peut mettre les relations exprimées par les propositions i° et 3° sous la forme
nui ni n O ni O m
Donc, quand on passera à la figure primitive, on aura, eu veftu des relations métriques, qui ont lieu dans ce mode particulier de déformation liomograpliique ( Gcom . su/t., il" 531), les relations suivantes qu’il fallait déniontrcvi
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clans lesquelles d et d ' sont les diamètres de la eonique £ qui sont parallèles, respectivement, à MN' et M' K ou à OM' et OM.
SECTION 5
