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■ ss const.

OB

Faisons la figure corrélative. Nous aurons une conique; une droite Z. corrélative du point O, et sur cette droite

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DK GÉOMÉTRIE PURE

«leux points .r, y, conjugués par rapport à la conique. Soient P, Q les polaires «le ces deux points; elles seront deux droites conjuguées de la conique, relatives au pôle 1 de la droite Z par lequel elles passent toutes deux. Ce sont les droites qui correspondent aux points situés à l'infini sur les axesOX, OY de la première ligure. Nous aurons encore, sur la droite Z, un troisième point correspondant à la droite O/n, et si l’on mené par ce point une transversale NI , elle correspondra au point ni. Aux deux perpendiculaires ni A', ;nB' correspondront les deux points p cl q où la droite NJ rencontre les deux droites conjuguées dont nous venons de

Donc, aux quatre points O, A', A et 00 de la première figure, situés sur OX, correspondront dans la nouvelle figure «juatre droites passant par le point x , savoir : i° la droite Z; 2 0 la droite xp, 3° l’une d«-s deux tangentes menées du point x à la conique , c’est-à-dire la droite qui joint ce point à l’un des points de rencontre de la conique par la polaire P du point et 4° la droite xi.

Le rapport anharmonique de ces «juatre droites est égal à celui . des quatre points correspondants de la première

figure ( Géom . sup., n° 578), lequel est ^— » Exprimons

le rapport anharmonique des quatre droites par celui d«*s quatre points où elles rencontrent la polaire P.

Soient a., a', a les trois premiers de ces points, dont le quatrième est i, on aura

OA' a. a' ta'

OA ad* ta ,

On aurait de même , pour la droite Q, l’égalité

parler

i^4 MÉLANGES

1 donc l’équation (i) devient

ou

/aa' in'\’ /B b' ib'\>

: — I + ( tt : -rr ) = const.

\ a a m J \ pi tb )

/ /a /a' \’ ( i b ib' \ 1

\Ta-77) + \ïi-w) = '

c’est-à-dire que : * , .

Étant données une conique et une transversale , si, autour d’un point i, pris arbitrairement , on fait tourner deux droites conjuguées par rapport à la conique, et qu’on désigne par a, (3 les points ok elles rencontrent la polaire du point fixe ; par a, b, deux des quatre points où elles rencontrent la courbe; et enfin par a', b' les deux points où elles coupent la transversale , on aura toujours la relation (a) , quel que soit le système des deux droites conjuguées.

Si la transversale est à l’infini, on retrouve le théorème du n° 27.