Dans l’équation (a) du .,"28 remplaçons le rapport

. art'

par le rapport des perpendiculaires ap, a'p', abaissées des deux points a et a! sur la polaire z du point 1; et pareil-

1 ement pour le rapport : 1 équation deviendra

■ const.

Actuellement, soit ^ le point de rencontre de la polaire Z et de la transversale ; joignons iV et menons, perpendiculairement à cette droite, une droite id qui coupe la transversale en d\ enfin, abaissons la perpendiculaire de sur Z “ on aura ’

-frf — i-cos(a'iJ), X étant une constante ,

et l’on aura pareillement

Tb T = i - cos (*' ,rf )l

de sorte que l’équation deviendra

v ■ 'ml

■cl**

f ib

a p j cos ( a '/rf) + ^j cos’ (a' id) = const.

Dans cette équation la direction de la droite id est |r- ,.r bitraire, comme l’était celle de la transversale qu’elle a remplacée. Pour une seconde droite id perpendiculaire à la première, on aura uue seconde équation qui, ajoutée à la première, donnerait

iat ib' 1

—t -H 7 — = const.

a p 7 brf

ïk

1 / - ^ •*. » ** v ? tjf

•'**.*.- *«ïjj

' Æl

Donc, si, par un point fixe, on mène deux droites conjuguées par rapport à une conique, et que sur chacune

« IO ' c

— - - • wî •. ,, • ~

• 4ti * ' ' MÉLANGES ^

d'elles ou prenne un des deux points où elle coupe la courbe, les deux points ainsi déterminés sont tels , que les carrés de leurs distances au point fixe , divisés respectivement par les carrés de leurs distances à la polaire du point fixe , sera constante , quel que soit le système des deux droites conjuguées.

32. Si le point i est un foyer, la propriété est évidente à priori, et il en résulte que l’équation (3) se réduit à la

-4- ; , ~ COnSt.

t’a’ 1 ’ ib’

Elle exprime que : Étant donnés un point fixe et deux droites sur un plan , si autour de ce point on fait tourner deux axes recta ngulaires qui rencontrent la première droite en deux points , la somme des cariés des distances de ces points à la deuxième droite , divisés respectivement parles carrés de leurs distances au point fixe , sera constante.

33. On sait que la somme des carrés des perpendiculaires abaissées des quatre extrémités des deux diamètres conjugués d’une conique sur une droite fixe est constante.

Donc on aura le théorème suivant, en vertu du principe du n°513 de la Géométrie supérieure :

Si, par un point fixe , on mène deux droites conjuguées par rapport à une conique, la somme des carrés des distances des quatre points où elles rencontrent la courbe à une droite fixée arbitraire , divisés respectivement parles carrés des distances de ces points à la polaire du point fixe, sera constante , quel que soit le système des deux droites conjuguées. - ' -

34. Si la droite fixe de la première figure est celle qui correspond à l’infini fle la seconde, on aura cc nouveau . théorème ( Géom . sup., n° 514) :

Si, par un point fixe , on mène deux droites conjuguées par rapport à une conique , la somme des valeurs inverses

des carrés des distances des quatre points où elles rencontrent la courbe à la polaire du point fixe, sera constante pour tous les systèmes de deux droites conjuguées.

O» voit ce que devient le théorème si le point fixe est le foyer de la conique.

35. Si l’on applique successivement le théorème (33) à deux droites fixes rectangulaires, on aura deux équations qui, ajoutées membre à membre, donneront lieu au théorème suivant :

Si, par un point fixe, on mène deux droites conjuguées par rapport à une conique, elles rencontreront la courbe en quatre points, dont les carrés des distances à un deuxième point quelconque , divisés respectivement par les carrés des distances de ces points à la polaire du premier point fixe , auront une somme constante.

36. Soient deux diamètres conjugés dune conique -, si, d’un point fixe O, on mène des droites aux quatre points A, a, B, b où ils rencontrent la courbe, on sait que la somme des carrés de ces quatre droites est constante, quel que soit le système des deux diamètres conjugués , et l’on a

OA’ +Od ! + OB’ -t- 0 6’ = const.

- Soient A', a', B', b 1 les points où les deux diamètres conjugués rencontrent un cercle décrit du point O comme cen- - tre, on pourra écrire l’équation ci-dessus de la manière suivante :

• OA C Va ÔB* Ôè

=7 + —, ■=-, + =r = const.

OA' On' OB' Ob'

Faisons la figure homograpliique , et désignons par les mêmes lettres les points correspondants, dans cette figure, aux points O, A, a, etc., de la première. Soient de plus L, /, M, m les points où les quatre droites OA, Ou, OB, O&dans la nouvelle figure, coupent la droite qui corres-

• • \ tl

; lif 8 MÉLAN0ÎÈS. 1 Vv '

pond à l’infini de la première; on aura, par la relation du n° 514 de la Géométrie supérieure , le théorème suivant :

Étant, données deux coniques et une droite fixe , si parle pôle de cette droite par rapport à la première conique, on mène deux droites conjuguées par rapport à cette conique , qui la rencontreront aux quatre points A , a, B, b, et que par le pôle de la droite pris par rapport ci la seconde ^ conique on mène quatre rayons aboutissant à ces points, et rencontrant la second# conique aux quatre points A',

a', B', b', et la droite fixe aux points L, 1, M, m, on

aura l équation ,

,0A /O» M- =con ,

quel que soit le système des deux droites conjuguées pris par rapport à la première conique.

37. Si le point O est le foyer de la première conique et que la droite fixe soit sa directrice correspondante à ce foyer ; que le point O soit aussi le pôle de celte droite par rapport à la seconde courbe , et qu’on remplace, dans l’équation générale, chaque rapport par le rapport des per-

pendiculaires abaissées sur des points A , A' sur cette droite,, on aura l'énonce suivant .

Si, autour d'un point fixe, on fait tourner deux droites rectangulaires , qui rencontreront en quatre points une . conique aussi donnée, la somme des carrés des distances de ces points à la polaire du point fixe, divisés respect i- « ventent par les carrés des distances de ces mêmes points’ .

. au point fixe , sera constante. ' . ' - -

38. Si , dans le théorème du n° 36, la première courbe est un cercle concentrique à la seconde , et que le point O soit le centre commun des deux courbes , on aura l’équation

! 1 = const.,

; ~ 'fi . .ME*

quel que soit le système des deux axes rectangulaires pris dans la seconde conique.

Si la deuxième conique esi le système de deux droites, on retrouve le théorème déjà énoncé au n° 31 .

Celui du n u 32 en est aussi une conséquence; il suffit de taire, relativement aux données de la question, les mêmes hypothèses que dans le n° 37.

39. La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des extrémités de deux demi-diamètres conjugués sur un

. diamètre fixe est constante, quel que soit le système des deux diamètres.

Dans la figure corrélative on aura une conique; une droite fixe et, sur cette droite, deux points conjugués par rapport à la courbe; on aura, de plus, deux tangentes menées par ces deux points respectivement; un point fixe pris sur la droite fixe, et correspondant au diamètre fixe de la première figure; et enfin un second point fixe, correspondant à 1 infini de la première figure, qui sera le pôle de la droite par rapport à la conique.

Appliquons le principe du n° 589 de la Géométrie supérieure, nous aurons ce théorème :

Si j par deux points pris sur une droite fixe et conjugués par rapport à une conique , on mène deux tangentes à la conique , la somme des carrés des distances de ces tangentes à un point fixe arbitraire , divisés respectivement par les carrés des distances de ces tangentes au pôle, de la droite fixe , sera constante.

40. 1 .es droites menées du pôle de la droite fixe aux points de contact des tangentes sont les polaires des deux jioints conjugués; donc elles sont deux droites conjuguées par rapport à la conique. Ainsi le théorème prend cet

énoncé : "V

Si, par un point fixe O, on mène deux droites conju- ' . guées par rapport à une conique , les tangentes à la co- -f

i5o ' ; 'c • MÉLANGES

nique, en deux des points où elles coupent cette courbe jouissent de cette propriété , que la somme des carrés de leurs distances à un point fixe pris arbitrairement sur la polaire du point O, divisés respectivement par les cariés de leurs distances à ce point O, sera constante , quel que soit le système des deux droites conjuguées.

41. Soient i le point fixe pris sur la polaire, « le point où l’une des tangentes rencontre la droite Ot; le rapport des distances de cette tangente aux deux points i et O sera égal

à » donc on aura

ai 6 /

— - -y y = const.

«O po

42. Si la droite Oi est parallèle à la polaire du point O, les segments ou, (3 i sont égaux comme étant infinis et comptés • sur une même droite. Donc

Si, par un point fixe, on mène deux droites conjuguées par rapport à une conique , les tangentes menées par deux des points où ccs droites rencontrent la courbe , feront sur une droite menée par le point fixe parallèlement à la polaire de ce point deux segments dont la somme des valeurs inverses des carrés sera constante , quel que soit le système des deux droites conjuguées.

43. Si le point fixe est le centre de la conique , sa polaire est la droite de l’infini $ toute droite menée par ce centre peut être considérée comme parallèle à cette polaire. 11 en résulte que :

Les tangentes à une conique , menées parles extiémilés de deux demi-diamètres conjugués, font , sur un diamètre fixe, deux segments dont les entrés ont la somme de leurs valeurs inverses constante.

44. De ce principe , que chaque système de deux droites conjuguées d’une conique , relatives à un point fixe O ,

’ * .yj

DF. GÉOMÉTRIE PURE. ,5i

forme, en direction, un système de deux diamètres conjugués d’une seconde conique qui a son centre en ce point, et qui a ce point pour centre d’homologie avec la proposée, nous avons conclu , dans le courant du Mémoire, la relation suivante :

ap étant la distance du point a de la première conique à la polaire du point fixe.

Or on a

Sa ' 1 + S //’ = const.,

Sa' et S b' étant deux demi-diamètres conjugués de la seconde courbe; donc

Sa S b

y -+- y — const -

ap bp

C’est le théorème déjà démontré (31 ).

4o. Si l’on a deux systèmes de deux demi-diamètres conjugués de la seconde conique, on sait que le parallélogramme construit sur les deux premiers est égal en surface à celui qui est construit sur les deux autres. On en conclut, relativement à la première conique, que i

Si l’on a, dans une conique , un système de deux droites conjuguées relatives à un point , la surface du parallélogramme construit sur deux quelconques de ces droites, divisée par le produit, des perpendiculaires abaissées des extrémités de res droites sur la polaire du point fixe, est constante , quel que soit le système de ces deux droites conjuguées.

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