Ainsi nous dirons que

Une propriété fondamentale et caractéristique des séries homographiques , et qui suffit à les définir complètement , c’est qu’à un point m de l une ne correspond qu’un point m! de l’autre , et réciproquement. Et de même pour des faisceaux de droites ( Géom . su/)., n° 14-2).

Nous dirons aussi qu’une propriété fondamentale et caractéristique des séries en involulion , c’est qu’un point (ou droite) quelconque de l’une, étant considéré comme appartenant successivement aux deux séries, a le même point (ou droite) homologue dans les deux cas (Géom. su/)., n os 237 et 218).

3. M. Chasles, dans ses leçons à la Faculté des Sciences de Paris, a déjà rapidement indiqué les ressources singulières que présentent ces deux énoncés. C’est dans le but de les faire connaître aux jeunes gens qui se livrent à l’étude de cette branche de la science que j’ai écrit ce chapitre, où, après avoir donné quelques développements à la pensée de l’auteur, j’en fais l’application à certaines questions, et en particulier aux théorèmes énoncés sans démonstration, dans le Mémoire sur la construction géométrique clés racines des équations du 3” et du 4'' degré. (Comptes rendus de l’ Académie des Sciences, tome XI J, page 6 77 et suiv.)

§ II. — Propositions fondamentales.

1. Occupons-nous , en premier lieu , de Y homographie, et supposons qu'en traitant une question de géométrie, étrangère d’ailleurs aux fonctions transcendantes, 011 soit conduit à considérer deux séries de points sur deux droites distinctes, ou sur la même droite, ou deux faisceaux de droites issues de deux sommets distincts ou d’un seul, ou bien encore une série de points en ligne droite, et un faisceau de droites convergentes eu un seul point.

Pnoposmojy I. — S’il arrive qu'à un point ( ou à une

VU v

I Vi

rs*.:

f / jV.^vr -î • - .

droite) de la première série, il ne correspond qu'un point ( ou une droite) delà seconde, et réciproquement , on peut en conclure, immédiatement et sans plus de recherches, tpie les deux séries sont homographiques : propriété qui suffit souvent pour donner une solution intuitive de la question proposée.

En effet, il est évident que la relation qui existe entre les deux séries peut toujours se traduire en une équation entre deux variables. Cette équation sera purement- algébrique , et ne contiendra aucune transcendante, puisque, par hypothèse, la question elle-même en est exempte, et ne comporte que des relations algébriques. Chacune des deux séries peut être regardée comme étant déterminée par la suite des valeurs données à chacune des deux variables, et comptées, à partir de deux origines fixes (ou d'une seule), sur la même droite s'il s'agit de points , ou bien autour d'un point fixe et à partir de deux axes fixes s’il s’agit de droites.

Ür, par hypothèse, à une valeur quelconque de l’une des variables il ne correspond qu’une seule valeur de l’autre, et réciproquement. Donc la relation algébrique en question ne peut être que de la forme '

A/h. B 'ni -t- X. A/h 4- fi. B 'ni 4- v z=: o s’il s’agit de points , ou bien

tg ( A,M ). tg ( B’,M') -+- X. tg ( A,M ) 4 - fi. tg (B\M' ) 4- » = o s’il s’agit de droites.

Ces expressions , où il n’entre pas le produi l de deux seg- ’ ments relatifs au même point m ou ni (ou à la inèmedroile M ou M'), expriment l’homographie des deux séries de points ou de droites (Géom. sup., cliap. Vil). Donc la proposition est démontrée.

Passons au cas de l’involutipn.