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trie, telle qu’elle est posée au u°4, 1rs deux séries de points (ou de droites) qu'on est conduit à considérer, sont telles, qu'à un point (ou droite ) de l'une il correspond toujours deux points (ou droites) de l'autre, tandis qu'à chacun de ceux-ci, indistinctement, il n’en correspond qu’un seul dans la première série, on peut en conclure immédiatement que la deuxième série se compose de segments (ou d'angles) en insolation.

En effet (supposons, pour abréger le discours, qu'il s’agisse de séries de points) , soient m , m! les deux points de la deuxième série qui correspondent au point M de la première; m et ni 1 étant, comme ci-dessus, déterminés par les valeurs des variables estimées sur une droite à partir d’une origine fixe, et de même pour le point M. Les séries des points m et des points m' seront homograpbiques entre elles, en vertu de la proposition I, parce que dès qu’on obtient un point m, il lui correspond aussitôt un point m 1 , et que, réciproquement, si l’on obtient ce point m', il lui correspond le point ni. Mais il y a ici plus qu’une simple homographie.- Car puisque , par bypotbèse, au point M correspondent simultanément les deux points m et m\ chacun de ces points, étant considéré comine faisant partie de l'une ou de l’autre division, a le même homologue, ce qui caractérise l’ involution des deux séries de points. On peut dire encore que, dans l’équation qui exprime l’homographie des deux séries, on doit pouvoir changer les points m dans les points m 1 , ce qui exige que l'équation soit symétrique en m et m'. Or cette condition implique aussi l'involûtion (Géom. sup., n° 211). Donc la proposition est démontrée.

6. On sent tout de suite la fécondité de ces deux propositions générales, et comment elles peuvent souvent rameuer la solution de certaines questions à des considérations purement intuitives. En voici d’abord quelques exemples.

MÉLAINGLS

§ JII. — Applications tles propositions précédentes. i . — Homographie.

7. i°. Prenons deux points fixes O, O' sur une conique. Par le point O menons une série de rayons O a, O b. Oc,... ; elia cun d’eux ne rencontre la courbe qu’en un seul point < 2 , l>, c,..., et, par suite, ne .donne lieu qu’à un seul rayon correspondant 0 «, O ’ £ , O’ c. Réciproquement, chaque rayon O' a,... ne donne lieu qu’à un seul rayon conjugué On , , . . . Donc , par la proposition I , les deux séries de rayons sont homographiques.

a°. Soient L, IJ deux tangentes fixes à une conique. A chaque point a , . . . de L correspondra une seule tangente à la conique, et, par suite, .un seul point a',... sur L', et, réciproquement, au point a’,... correspondra le seul pointu. Donc les deux séries de points formées sur deux tangentes fixes à une conique, par une tangente mobile, sont homographiques.

3". Soient S, S', S 7 , . . . des coniques circonscrites au même quadrilatère ABCD. Par le poiul A , menons une. transversale arbitraire AL qui rencontre les coniques successives en une série de points a, a', a",..., respectivement. Chacun de ces points détermine la conique sur laquelle il se trouve et lui correspond. Menons une seconde transversale AL' qui rencontre les coniques en b . b\

Les points de cette seconde série correspondent, un à un, aux points a, a', «",... de la première. Donc ces deux séries sont homographiques.

On obtiendrait, avec la même facilité, un théorème corrélatif du précédent pour des coniques inscrites au même quadrilatère;

4". Les coniques S, S', S", ... restant soumises à la même . condition que 3 n , prenons, par rapport à chacune d elles.

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la polaire tl’un point quelconque de leur plan. Toutes ces polaires P, P', P", . . . passent par un même point ( Géont . su/)., n° 748, étendu aux coniques), et, de plus, à chaque conique il n’en correspond qu’une seule. Donc ces polaires, qui correspondent une à une respectivement aux points a , a 1 , a", . . . , forment un faisceau qui est homographique avec cette division de points, et qui l’est aussi, par conséquent, avec le faisceau formé par les polaires relatives à un second point quelconque.

C’est l’un des théorèmes sur lesquels repose la construction delà courbe du troisième degré passant par neuf points. (Chasles, Comptes rendus , 1 853 . )

Ou obtiendrait, de même, un théorème corrélatif de relui-CT.

Dans l’exemple que je viens de donner, il n’est pas nécessaire de s’appuyer sur le n° 748 de la Géométrie supérieure, pour démontrer que les polaires P, P', P",. . . passent par un même point. Ce théorème, dù à M. Lamé, est lui-même une conséquence facile de la première des deux propositions fondamentales.

En effet, menons dans le plan des coniques une transversale quelconque L, qui coupe les polaires respectivement en une série de points m, m', in ", .... Une seconde transversale L' les coupera, respectivement, en des points//, //', n",. . .. Cela posé , à chacune des coniques il ne correspond qu’un poinlm sur L, et 'qu’un point n sur L'. Réciproquement, à chaque point m il ne correspond qu’une seule conique, puisque toutes les courbes sont d'ailleurs assujetties h la condition de passer par les quatre mêmes points (réels ou imaginaires), et que la nouvelle condition de couper harmoniquement chaque segment, tel que p/n, achève de déterminer complètement chacune d’elles, il ne correspond donc au point m qu’une seule polaire, et, partant, qu'un seul point n sur la seconde transversale. Il vi- / • -• - " * *. ' .. ? ■*. *•

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i58 MÉLANGES

résulte de là que la série des points m est lioniographiqtie à celle des points //; et, comme cette propriété subsiste pour toutes les transversales qu’on pourrait mener, il faut nécessairement que toutes les polaires passent par un même point. c. q. f. d.

5°. Quatre plans tangents à une surface gauche, menés par une même génératrice, ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs quatre points de contact. (Chasles, frlêmoire sur les surfaces du a c degré engendrées par une ligne droite, page 5.) - ,

En effet, les quatre points sont en ligne droite, les plans passent par une même droite, et, de plus , les points v . et les plans se correspondent, un à un, respectivement.

Donc , etc.

6°. On verrait de même que :

- Quatre plans étant menés arbitrairement par une même génératrice d’une surface gauche , les quatre points où ces plans touchent la surface ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points où ces mêmes plans sont . • normaux à la surface ( même Mémoire, page 8).

Passons au cas de l’involution.