InvolvUion

8. f. Dans le cas de l’exemple 3° ci-dessus, menons Une seconde transversale arbitraire L', ne passant plus par l’un des sommets du quadrilatère inscrit. Elle coupe chaque courbe en deux points d, d; d\ à ' ; d ", d";.... Ces * points correspondent , deux par deux , et sans distinction de l’un ou de l’autre, aux points a , a 1 , a'\ ... de la transversale L, respectivement; et aux deux points d , d,. . . de chaque couple correspond le seul point a de la première transversale. Donc , en vertu de la seconde proposition , les segments cüd, d' d', d"â",... sont en involution.

Si chaque conique se réduit à deux droites, on retrouve

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DK GÉOMÉTRIE PURE. i5 ( )

un théorème connu, concernant le quadrilatèré et ses diagonales ( Gèom . su/k, n" 339).

Fit l’on obtiendrait) par un raisonnement tout semblable, deux théorèmes corrélatifs.

8°. D’un point O, on mène une série de cordes qui déterminent deux points chacune sur Une conique située dans leur plan. Si on joint un point quelconque O' de la conique avec les deux extrémités de chaque corde, on aura des couples de droites , passant par un même point et correspondants aux transversales, un à une respectivement. Donc les angles dont le point CK est le sommet commun, forment une série en involution [Géom. siip., n° 700).

Le théorème cesserait d’ètre vrai si l’on prenait, pour le sommet, un point qui ne fût pas situé sur le périmètre de la conique. A la vérité, à chaque transversale il ne correspondrait bien qu’uue seule corde et qu’un seul angle, comme ci-dessus. Mais, à chaque angle ne correspondrait plus une seule corde, et l’on n’aurait pas cette réciprocité qui est une condition indispensable de la proposition II.

9 °. Si plusieurs angles circonscrits à une conique ont leurs sommets situés en ligne droite, leurs côtés marquent sur une tangente fixe une série de segments en involution [Géom. sup., n° 702). Car à chaque point de la droite il correspond un segment, c’est-à-dire deux points sur la tangente, et réciproquement, à chacun de ces points, indistinctement, il ne correspond qu’un seul et même point sur la droite.

On voit encore ici que la réciprocité requise n’existerait pas si la seconde droite, au lieu d’être tangente à la conique, était quelconque. Car chaque point de cette droite déterminerait deux points sur la première droite au lieu d’un seul.